problème de méthode

[invite371ae0af]

bonsoir,
on considère H une base H={e1,e2,e3} et F une base F={v}
on me demande de montrer que B=H U F est une base

je sais qu'il y a la méthode directe par calcul mais j'aimerai savoir si je peux faire comme ca:
Supposons a1e1+a2e2+a3e3+a4v=0
si a4=0, on a a1e1+a2e2+a3e3=0 mais par hypothèse on a bien a1=a2=a3=0
si a4 différent de 0 on a -(a1/a4)e1-(a2/a4)e2-(a3/a4)e3=v mais v est une base donc on a a1/a4=a2/a4=a3/a4=0
au final B est bien une base

ma méthode est elle juste?

merci pour votre aide
-----

[invitec2174952]

ton problème m'a l'air mal posé.

Si F est contenu dans H, ce ne sera pas une base.
Donc il faudrait être un peu plus clair stp

[invite371ae0af]

H et F sont distincts

[Tiky]

Ton raisonnement est presque partout juste ^^.
On sait que est une base de si et seulement si et sont en somme directes.

Or et sont en somme directe si et seulement si :


Comme tu l'as fait, on décompose et sur les deux bases. On obtient :


Donc

Si , alors grâce à la liberté de la famille . On a bien .

Ton erreur est dans le cas où .
Supposons que , alors on peut écrire :

Autrement dit, on a et car est une base! C'est absurde.

Au passage, dire que et sont distincts signifie simplement que . Le mot disjoint ne convient guère davantage car est toujours un espace vectoriel. Ce que tu dois supposer, c'est que . Ta méthode ne fait que montrer l'équivalence suivante :

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite371ae0af]

merci de ta réponse tiky
en faite je trouve cette méthode plus rapide que celle donnant la base par le calcul

[invite371ae0af]

j' aurai encore une question:
pourquoi parle tu de l'intersection de H et de F pour montrer l'absurdité
pourrai tu réexpliquer?
ici je ne parle pas de supplémentaire ni rien

[Tiky]

j' aurai encore une question:
pourquoi parle tu de l'intersection de H et de F pour montrer l'absurdité
pourrai tu réexpliquer?
ici je ne parle pas de supplémentaire ni rien

J'ai parlé de somme directe. Ce n'est pas la même chose que supplémentaire.

On sait que est une base de si et seulement si et sont en somme directe.

Tu dis que est une base. Tu n'as pas précisé une base de quel espace... j'ai donc répondu à la question la plus probable.

[invite371ae0af]

il s'agit d'une base de R^4

[Tiky]

il s'agit d'une base de R^4

Alors

[invite371ae0af]

Autrement dit, on a et car est une base! C'est absurde.

en faite c'est cette phrase là que je n'ai pas compris

[invite371ae0af]

oui je suis d'accord
mais là tu parle de supplémentaire mais moi je veux me servir de l'union des bases pour montrer qu'ils sont supplémentaire

[Tiky]

oui je suis d'accord
mais là tu parle de supplémentaire mais moi je veux me servir de l'union des bases pour montrer qu'ils sont supplémentaire

Excuse-moi, je n'avais visiblement pas compris ton objectif. Tu entendais quoi exactement par distinct ?

[invite371ae0af]

les bases H et F n'ont rien encommun
en faite j'ai dit ca parce qu'on m'a demandé d'etre plus précis

[Tiky]

les bases H et F n'ont rien encommun
en faite j'ai dit ca parce qu'on m'a demandé d'etre plus précis

Si j'appelle et les bases respectivement de et de , tu veux dire : ?

[invite371ae0af]

bon voici les définitions de F et H
l'équation de H est x+y+z+t=0
F={(x,y,z,t) dans R^4,x=y=z=t}


au passage peut on dire que H est un hyperplan
si oui pour montrer que F et H sont supplémentaire on prend un vecteur dans F par exemple (1,1,1,1) et on montre qu'il n'est pas dans H

[Tiky]

bon voici les définitions de F et H
l'équation de H est x+y+z+t=0
F={(x,y,z,t) dans R^4,x=y=z=t}


au passage peut on dire que H est un hyperplan
si oui pour montrer que F et H sont supplémentaire on prend un vecteur dans F par exemple (1,1,1,1) et on montre qu'il n'est pas dans H

Alors ton raisonnement est sûrement faux. Je t'ai déjà dit si je ne me trompe pas que les hyperplans sont exactement les noyaux des formes linéaires non-nulles. H est bien un hyperplan. Tant que tu ne pourras pas me dire ce que tu entends par "rien en commun" sur les bases, je ne pourrais te dire si tu as juste ou non.

[invite371ae0af]

oubli le "rien en commun", j'ai dit ca a cause du post enigman