Integrale du cone.

[deyni]

Bonsoir.

J'aimerai démontrer sous forme d'intégrale, la SURFACE du cone.
Mais je ne sais pas d'où partir.

Donc, il faut intégrer quoi, par rapport à quoi.
r(rayon à la base) varie, h(hauteur du cone) varie....

Mais, je ne sais pas.

Merci.

ps:quelle est la différence entre aire et surface.
Ici, j'ai besoin de la surface exactement(pour de électromagnétisme)

Merci.
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[deyni]

Juste la formule sinon.
J'essayerai de trouver.
Sur google, je ne la trouve pas.

[deyni]

Non, j'ai trouvé:
S=piR²+piRL
où L est la longeur génératrice.

Mais comment le démontrer sous forme d'intégrale?

[invite0931ef5e]

(en intégrant le périmètre par rapport à la directrice) et il reste à ajouter l'air de la base

[A voir en vidéo sur Futura]

[NicoEnac]

Bonjour,

Variante à la solution de wopl_a :
La base du cône étant dans le plan xOy, la hauteur selon z, sa hauteur h et son rayon R.
On découpe le cône en "bandelettes" parallèles au plan xOy et on intègre sur la hauteur. On peut les approximer comme des rectangles dont il s'agit de trouver les dimensions.
Leur largeur correspond à la circonférence du cône à la hauteur z (merci Thalès) : . Pour leur hauteur, j'utilise le cosinus de l'angle au sommet : d'où .

Ainsi la surface du cône :

[deyni]

Selon ce que dit wopl_a,
Integrer le périmètre par rapport à la directrice:

Je ne sais pas comment trouver le périmètre.

Selon vous nicoEnac:
Je vois, mais cela me parait un peu compliquer.
On intègre des disques de 0 jusqu'à h
Leur largeur est 2pir, où r varie de 0àR

Mais, je ne vois pas comment faire...

Vous n'avez pas une technique, comme calculer l'intégrale triple?Ou double?

[NicoEnac]

On intègre des disques de 0 jusqu'à h
Leur largeur est 2pir, où r varie de 0àR

r ne varie pas.
Je joins un "dessin" qui peut t'aider à comprendre.

[NicoEnac]

Pour reprendre les termes du "dessin" (fait sous Paint à l'arrache, dsl pour la qualité),
La bandelette étant approximée comme un rectangle, reste à trouver ses dimensions. Le dessin explique donc que la largeur vaut . Pour trouver R', j'utilise Thalès.

[deyni]

Ok, merci.

Votre dessin était très bien fait.