Clôture algébrique

[Tiky]

Bonsoir,

Ma question est la suivante : la clôture algébrique d'un corps dénombrable est-elle toujours dénombrable ? sinon avez-vous un contre-exemple ?
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[Seirios]

Bonsoir,

Je dirais que oui : un polynôme de K[X] ayant nécessairement un nombre fini de racines dans une clôture algébrique de K, et K[X] étant dénombrable (si K l'est), il existe une nombre au plus dénombrable de nombres algébriques n'appartenant pas à K. Si on les note , (qui est dénombrable) ne correspond-il pas à une clôture algébrique de K ?

[Seirios]

D'ailleurs, si mon raisonnement est juste, on pourrait montrer de manière plus générale que si K est un corps infini, alors sa clôture algébrique est de même cardinal.

[Médiat]

Il manque quelque chose à votre démonstration : vous avez montré que si K est un corps dénombrable, alors il existe un corps dénombrable K' qui contient toutes les racines des polynomes à coefficient dans K, alors que pour que K' soit algébriquement clos il faudrait qu'il contiennent toutes les racines des polynomes à coefficient dans K'.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Effectivement, donc cela ne peut pas marcher, puisqu'il faudrait prendre K(a₁,a₂,...) avec a₁,a₂, etc. les racines des polynômes à coefficients dans la clôture algébrique, qui ne sont a priori pas en quantité dénombrable...

[Tiky]

Effectivement, donc cela ne peut pas marcher, puisqu'il faudrait prendre K(a₁,a₂,...) avec a₁,a₂, etc. les racines des polynômes à coefficients dans la clôture algébrique, qui ne sont a priori pas en quantité dénombrable...

C'est pour ça que je pense que c'est faux . Et donc je cherche un contre-exemple;

[Seirios]

En fait il semblerait bien qu'il n'existe pas de contre-exemple : http://planetmath.org/encyclopedia/C...icClosure.html. La clef de la preuve est que tout élément de la clôture algébrique est racine d'un polynôme à coefficients dans le corps initial (ce qui est la définition d'une extension algébrique). La démonstration est toute simple...

[invitebe0cd90e]

Non, c'est vrai : si K est un corps infini, sa cloture algebrique a même cardinal que K.

Le fait est que la cloture algebrique d'un corps K s'identifie effectivement au corps des nombres algébriques sur K. Autrement dit, le corps L des nombres algébriques sur K est algebriquement clos. En effet, si a est algebrique sur L, alors il annule un polynome à coefficients dans L. Donc a est algébrique sur l'extension . Comme cette dernière est de degré fini (puisque les b_i sont algébriques sur K) on en déduit que a est algébrique sur K, cad que a appartient à L.

[Tiky]

En fait il semblerait bien qu'il n'existe pas de contre-exemple : http://planetmath.org/encyclopedia/C...icClosure.html. La clef de la preuve est que tout élément de la clôture algébrique est racine d'un polynôme à coefficients dans le corps initial (ce qui est la définition d'une extension algébrique). La démonstration est toute simple...

C'était idiot... bah merci

[Seirios]

Toujours penser à faire ses recherches en anglais lorsque l'on ne trouve rien ; on ne trouve rien d'intéressant à "cardinal de la clôture algébrique", mais le premier lien de "cardinality of algebraic closure" donne une démonstration du résultat

[Tiky]

Toujours penser à faire ses recherches en anglais lorsque l'on ne trouve rien ; on ne trouve rien d'intéressant à "cardinal de la clôture algébrique", mais le premier lien de "cardinality of algebraic closure" donne une démonstration du résultat

Oui, j'y penserai la prochaine fois. Merci encore.

[invitebe0cd90e]

La clef de la preuve est que tout élément de la clôture algébrique est racine d'un polynôme à coefficients dans le corps initial (ce qui est la définition d'une extension algébrique). La démonstration est toute simple...

Oui et non, le fait qu'une cloture algebrique de K est algebrique sur K se demontre, c'est ce que je fais dans mon message. Si tu decides d'inclure cette propriété dans la definition, alors il faut prouver que cette definition n'est pas vide, ce qui en gros revient au meme, il y a quelque chose qui n'est pas trivial.

Mais tu as raison en ce sens que si tu consideres le fait precedent comme acquis, alors la question du cardinal en decoule automatiquement.

[Seirios]

Merci pour la précision, je prends note.

[invitebe0cd90e]

De rien. Ceci dit je chipote, puisque quand on montre l'existence en principe on montre son existence parmi les extensions algebrique de K donc la propriété est automatiquement vérifiée, donc l'argument que je donne plus haut n'est pas necessaire en général. Mais dans tous les cas il faut montrer que la definition a un sens.

Tout ca pour dire que la question de départ n'etait pas idiote, en tous cas pas forcement intuitive puisque elle presuppose (ne serait ce que de façon cachée) un résultat pas trivial.

[Médiat]

Etant logicien, j'utilise des méthodes de logicien :
Soit K un corps dénombrable, soit Diag(K) le diagramme de K, c'est à dire toutes les formules vraies dans K dans le langage des corps augmenté d'un symbole de constante pour chaque élément de K.

Soit T = Diag(K) U {Les formules qui expriment qu'un corps est algébriquement clos} (ces formules sont bien du premier ordre et ne dépendent pas de K).

On sait que T est consistante (existence des extensions finies plus théorème de compacité) donc elle admet des modèles (théorème de Gödel) qui contiennent tous un sous corps isomorphe à K (modèle de Diag(K)) donc au moins dénombrable, donc il existe au moins un modèle en toutes cardinalité au moins de la taille du langage + (théorème de Lowenheim-Skolem) donc au moins dénombrable (CQFD).

Démonstration qui marche quelque soit le cardinal de K, en remplaçant "dénombrable" par "de cardinal "