Clôture algébrique
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Clôture algébrique



  1. #1
    Tiky

    Clôture algébrique


    ------

    Bonsoir,

    Ma question est la suivante : la clôture algébrique d'un corps dénombrable est-elle toujours dénombrable ? sinon avez-vous un contre-exemple ?

    -----

  2. #2
    Seirios

    Re : Clôture algébrique

    Bonsoir,

    Je dirais que oui : un polynôme de K[X] ayant nécessairement un nombre fini de racines dans une clôture algébrique de K, et K[X] étant dénombrable (si K l'est), il existe une nombre au plus dénombrable de nombres algébriques n'appartenant pas à K. Si on les note , (qui est dénombrable) ne correspond-il pas à une clôture algébrique de K ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  3. #3
    Seirios

    Re : Clôture algébrique

    D'ailleurs, si mon raisonnement est juste, on pourrait montrer de manière plus générale que si K est un corps infini, alors sa clôture algébrique est de même cardinal.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  4. #4
    Médiat

    Re : Clôture algébrique

    Il manque quelque chose à votre démonstration : vous avez montré que si K est un corps dénombrable, alors il existe un corps dénombrable K' qui contient toutes les racines des polynomes à coefficient dans K, alors que pour que K' soit algébriquement clos il faudrait qu'il contiennent toutes les racines des polynomes à coefficient dans K'.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Seirios

    Re : Clôture algébrique

    Effectivement, donc cela ne peut pas marcher, puisqu'il faudrait prendre K(a1,a2,...) avec a1,a2, etc. les racines des polynômes à coefficients dans la clôture algébrique, qui ne sont a priori pas en quantité dénombrable...
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  7. #6
    Tiky

    Re : Clôture algébrique

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    Effectivement, donc cela ne peut pas marcher, puisqu'il faudrait prendre K(a1,a2,...) avec a1,a2, etc. les racines des polynômes à coefficients dans la clôture algébrique, qui ne sont a priori pas en quantité dénombrable...
    C'est pour ça que je pense que c'est faux . Et donc je cherche un contre-exemple;

  8. #7
    Seirios

    Re : Clôture algébrique

    En fait il semblerait bien qu'il n'existe pas de contre-exemple : http://planetmath.org/encyclopedia/C...icClosure.html. La clef de la preuve est que tout élément de la clôture algébrique est racine d'un polynôme à coefficients dans le corps initial (ce qui est la définition d'une extension algébrique). La démonstration est toute simple...
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  9. #8
    invitebe0cd90e

    Re : Clôture algébrique

    Non, c'est vrai : si K est un corps infini, sa cloture algebrique a même cardinal que K.

    Le fait est que la cloture algebrique d'un corps K s'identifie effectivement au corps des nombres algébriques sur K. Autrement dit, le corps L des nombres algébriques sur K est algebriquement clos. En effet, si a est algebrique sur L, alors il annule un polynome à coefficients dans L. Donc a est algébrique sur l'extension . Comme cette dernière est de degré fini (puisque les b_i sont algébriques sur K) on en déduit que a est algébrique sur K, cad que a appartient à L.

  10. #9
    Tiky

    Re : Clôture algébrique

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    En fait il semblerait bien qu'il n'existe pas de contre-exemple : http://planetmath.org/encyclopedia/C...icClosure.html. La clef de la preuve est que tout élément de la clôture algébrique est racine d'un polynôme à coefficients dans le corps initial (ce qui est la définition d'une extension algébrique). La démonstration est toute simple...
    C'était idiot... bah merci

  11. #10
    Seirios

    Re : Clôture algébrique

    Toujours penser à faire ses recherches en anglais lorsque l'on ne trouve rien ; on ne trouve rien d'intéressant à "cardinal de la clôture algébrique", mais le premier lien de "cardinality of algebraic closure" donne une démonstration du résultat
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  12. #11
    Tiky

    Re : Clôture algébrique

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    Toujours penser à faire ses recherches en anglais lorsque l'on ne trouve rien ; on ne trouve rien d'intéressant à "cardinal de la clôture algébrique", mais le premier lien de "cardinality of algebraic closure" donne une démonstration du résultat
    Oui, j'y penserai la prochaine fois. Merci encore.

  13. #12
    invitebe0cd90e

    Re : Clôture algébrique

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    La clef de la preuve est que tout élément de la clôture algébrique est racine d'un polynôme à coefficients dans le corps initial (ce qui est la définition d'une extension algébrique). La démonstration est toute simple...
    Oui et non, le fait qu'une cloture algebrique de K est algebrique sur K se demontre, c'est ce que je fais dans mon message. Si tu decides d'inclure cette propriété dans la definition, alors il faut prouver que cette definition n'est pas vide, ce qui en gros revient au meme, il y a quelque chose qui n'est pas trivial.

    Mais tu as raison en ce sens que si tu consideres le fait precedent comme acquis, alors la question du cardinal en decoule automatiquement.

  14. #13
    Seirios

    Re : Clôture algébrique

    Merci pour la précision, je prends note.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  15. #14
    invitebe0cd90e

    Re : Clôture algébrique

    De rien. Ceci dit je chipote, puisque quand on montre l'existence en principe on montre son existence parmi les extensions algebrique de K donc la propriété est automatiquement vérifiée, donc l'argument que je donne plus haut n'est pas necessaire en général. Mais dans tous les cas il faut montrer que la definition a un sens.

    Tout ca pour dire que la question de départ n'etait pas idiote, en tous cas pas forcement intuitive puisque elle presuppose (ne serait ce que de façon cachée) un résultat pas trivial.

  16. #15
    Médiat

    Re : Clôture algébrique

    Etant logicien, j'utilise des méthodes de logicien :
    Soit K un corps dénombrable, soit Diag(K) le diagramme de K, c'est à dire toutes les formules vraies dans K dans le langage des corps augmenté d'un symbole de constante pour chaque élément de K.

    Soit T = Diag(K) U {Les formules qui expriment qu'un corps est algébriquement clos} (ces formules sont bien du premier ordre et ne dépendent pas de K).

    On sait que T est consistante (existence des extensions finies plus théorème de compacité) donc elle admet des modèles (théorème de Gödel) qui contiennent tous un sous corps isomorphe à K (modèle de Diag(K)) donc au moins dénombrable, donc il existe au moins un modèle en toutes cardinalité au moins de la taille du langage + (théorème de Lowenheim-Skolem) donc au moins dénombrable (CQFD).

    Démonstration qui marche quelque soit le cardinal de K, en remplaçant "dénombrable" par "de cardinal "
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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