Polynomes

[invite61bbd1bb]

Bonjour

j'ai un petit probleme

on donne

première question : on veut montrer que P est irréductible sur Q ; alors j'ai fini par trouver une methode élégante ; on développe P(X-1) et on applique le critère d'eisenstein et ca marche (irred sur Z donc sur Q)

mais il faut bidouiller (longtemps) le temps de trouver celui qui marche (avec P(X+1) par exemple ca marche pas); donc je voulais savoir si vous aviez une autre méthode ; j'ai essayé en disant que comme P est de degré 3 il est irred (sur Z) ssi il n'a pas de racine (entiere) ; j'ai fait une etude de variation de la fonction associée et montré que les racines ne sont pas entières : est-ce que je peux faire ca ?

deuxième question : on a montré que est racine de P ; on demande d'en déduire les deux autres racines ;

j'ai essayé avec les relations coeff/racine mais ca donne un système bien immonde que je n'arrive pas à résoudre

troisième question : trouver un polynome à coeff entiers ayant pour racines et

là j'ai pas d'idée

merci d'avance !
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[inviteaf1870ed]

Pour ta troisième question : peux tu facilement exprimer la somme, le produit et le produit 2 à 2 de tes nouvelles racines en fonction des coefficients de P ?