Polynomes

[invite616e6f6a]

Bonjour,

j'ai une petite question concernant les polynomes.
La question est :

soient k entier naturel différent de 0, et P ds C[X].
Montrer que : P(X) = P₀(X^k) + XP₁(X^k) + ...+ X^k-1(X^k)

P_j ds C[X], j=0,1,...k-1

Alors, cela me parait un peu bizarre, car j'aurais vraiment tendance à dire que c'est la définition même d'un polynome!
De maniere générale, on écrit : P(X) =

Alors, si on pose : ak = P_k(X^k), et k=0,1,...k-1,on a déja démontré ce qu'il faut?

Merci pour votre aide.
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Attention, dans ton énoncé, est fixé avant de considérer un polynôme .

Par exemple, on fixe , puis le polynôme , et l'on demande de montrer que .

[invite616e6f6a]

D'accord. Mais là, je ne sais pas trop par quoi commencer.... Par récurrence? mais dans ce cas,je ne montre rien du tout!
aussi, on ne connait rien de P_j à priori.

dans votre ex, est ce qu'on pourrait poser P_j tq :
deg(P₄X⁵) = 6,

ainsi, par produit de X⁴, on aura bien deg(P) = 10?

Enfin, ce que je veux dire,on auraconstruit un polynome P_j qui nous donne l'expression voulue?