Polynômes
salut, je suis entrain de faire l'exo suivant :
sans calculer le quotient, déterminer le reste depar
----------------------------------------------------------------------------
==>
Puis
Pourquoi deg(
Merci
Salut !
ba par définition ! le reste de la division euclidienne est de degré strictement inférieur à celui du diviseur !
ah oui, merci de me le rappeler !Envoyé par Ksilver
Sinon, Deg (
Ben préciser d°=<2 n'exclut pas d°=1 ou même 0 !
ok je comprends. merci
voila un autre exo que je ne comprends pas très bien non plus :
Soit (A,B) appartenant a
Montrer que
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Puis on effectue une division euclidienne de
Pourqui faire une division euclidienne de
Salut !
Tu écris R(X) = aX^2 + bX + c
tu dérives un certain nombre de fois, puis en prenant de bonnes valeurs de X tu obtiendras a, puis en remontant b puis c
Oui, je sais ce qi'il faut faire pour cet exo. on prend X = 1 puis X = 3, on calcul, puis on dérive une fois et on calcul R'(1). Je ne sais pas pourquoi on dérive qu'une seule fois et pourquoi calculer R'(1).
Sinon, il y a aussi :
voila un autre exo que je ne comprends pas très bien non plus :
Soit (A,B) appartenant a
Montrer que
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Puis on effectue une division euclidienne de
Pourqui faire une division euclidienne de
Il faut raisonner en termes d'idéaux...
par définition
pgcd(A,B) = 1
signifie (A) + (B) = (1) = K[X]
D'où, trivialement, il existe (U,V) tel que AU +BV=1 (*)
malheureusement, tu n'as pas d'indications sur le degré...
U = BC + U' avec U' de degré strictement inférieur au degré de B
Tu vas ainsi pouvoir obtenir une relation du même type que (*) mais avec les indications sur le degré !
Tu vas voir, écris le, ça se simplifie et tu trouves ce que tu veux... trouver
Tu as Xn=Q(X)(X-3)(X-1)+R(X)
De cette relation, tu ne peux obtenir des renseignements que si tu annules le 1er terme de la somme de droite.
En posant X=1 et X=3, on l'annule bien ce qui permet d'obtenir 1n=R(1) et 3n=R(3) mais ceci ne fournit que deux équations pour 3 paramètres à déterminer. si on avait une 3ème racine l'évaluation en cette valeur terminerait la détermination de ceci. Quand il y a une racine multiple on a également ceci :
(Q(X)(X-3)(X-1)²)'=(Q(X)(X-3)'(X-1)²+Q(X)(X-3)(2(X-1)) qui s'annule aussi en X=1 (ici comme la racine n'est que double il n'y a pas de garantie que ça s'annule en X=1, une racine triple par contre annulerait la dérivée seconde, ... ce que l'on perd en nombre de racine on le gagne en multiplicité et en annulation des dérivées successives).
On a donc n1n=R'(1).
Les 3 équations déterminent un unique polynôme (*), pour s'en convaincre il suffit de se placer dans la base P1=X-3, P2= (X-1)(X-3), P3=(X-1)² (c'est une base car libre dans un ev de dimension 3 en effet : aP1+bP2+cP3=0=>a=0 (évaluation en 1), b=0 (évaluation de la dérivée en 1), c=0 (évaluation en 3)). On a aP1+bP2+cP3 doit vérifier (évaluation en 1) a=1, évaluation en 3 c=3n, évaluation de la dérivée en 1 a+c=n donc c=n-1.
(*) ceci est pour la partie théorique, il n'y a pas de crainte à avoir que les équations ne soient pas indépendantes. En pratique il est plus rapide de poser R(X)=ax²+bx+c.
OK ! merci je comprends mieux.
Je ne pige pas l'histoire des base, mais c'est pas grave, on a pas encore fait les ev.
