Division euclidienne et polynôme

[invite4c8f7e37]

salut, voilà l'exo qui me pose problème :

Trouver les polynômes appartenant à de degré 5 tel que

et

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Le corrigé :

donc

Puis est racine d'ordre de multiplicité au moins de
et

D'où :


et

Puis il reste à résoudre le système.

Ce que je ne comprends pas : on commence à chercher les tel que et juste après on parle de (Puis est racine d'ordre de multiplicité au moins 3 de ). Pourquoi on ne cherche pas les racine de ?
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[invite57a1e779]

salut, voilà l'exo qui me pose problème :

Trouver les polynômes appartenant à de degré 5 tel que

et

-----------------------------------------------------------------------------------------------
Le corrigé :

donc

Puis est racine d'ordre de multiplicité au moins de
et

D'où :


et

Puis il reste à résoudre le système.

Ce que je ne comprends pas : on commence à chercher les tel que et juste après on parle de (Puis est racine d'ordre de multiplicité au moins 3 de ). Pourquoi on ne cherche pas les racine de ?

Par définition, divise , c'est : il existe tel que .
D'autre part divise est équivalent au fait que .
L'auteur du corrigé utilise l'une des méthodes pour caractériser divise , et l'autre pour divise .
Maintenant, comme 1 et -1 jouent des roles symétriques dans l'exercice, la répartition des deux caractérisation est au bon vouloir du rédacteur qui brise la symétrie des roles comme bon lui semble.

[invite4c8f7e37]

Donc si je cherche les racines de P-1 au lieu des racines de P+1, ce n'est pas faux ?

[invite57a1e779]

Donc si je cherche les racines de P-1 au lieu des racines de P+1, ce n'est pas faux ?

Dès que tu as écrit , tu as caractérisé divise , les racines de ne te fourniront aucune indication intéressante.
Il faut se mettre à exploiter que divise , donc étudier les racines de .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Si ce que tu veux dire c'est faire ainsi :
donc

Puis est racine d'ordre de multiplicité au moins de
et

D'où :


et

Puis il reste à résoudre le système.

Alors oui (c'est ce que t'as dit God's breath)
Maintenant si tu ce que tu veux faire c'est, en reprenant le début du corrigé, trouver les racines de l'équation (X-1)³(aX²+bX+c)=0 alors non car comment vas-tu les trouver ? Savoir que a est racine triple de P-b ne te renseigne en rien (ou dans des cas très particuliers) sur les racines de P-c.
Ce que je ne comprends pas : on commence à chercher les tel que et juste après on parle de (Puis est racine d'ordre de multiplicité au moins 3 de ). Pourquoi on ne cherche pas les racine de ?[/QUOTE]

[invite4c8f7e37]

ok je comprends mieux, mais je ne vois pas pourquoi on a le droit de prendre la racine de (càd (-1)), alors que ce n'est pas la racine de P-1

Sinon,

Montrer que divise .

je pense qu'il suffit de montrer que 3 est racine de P d'ordre de multiplicité 3 donc ?

[invite57a1e779]

ok je comprends mieux, mais je ne vois pas pourquoi on a le droit de prendre la racine de (càd (-1)), alors que ce n'est pas la racine de P-1

Je comprends de moins en moins ton problème : les propriétés des racines de n'ont rien à voir avec les propriétés des racines de

Sinon,

Montrer que divise .

je pense qu'il suffit de montrer que 3 est racine de P d'ordre de multiplicité 3 donc ?

Tout à fait d'accord avec toi pour cette question.

[invite4c8f7e37]

Je comprends de moins en moins ton problème : les propriétés des racines de n'ont rien à voir avec les propriétés des racines de

c'est pas grave, laisse tomber. C'est juste que je ne suis pas convaincu a 100%

sinon dans ce cas la comment faire pour trouver

[invite35452583]

Sinon,

Montrer que divise .

je pense qu'il suffit de montrer que 3 est racine de P d'ordre de multiplicité 3 donc ?

Certes, mais comme P(3) est toujours impair ça va être dur.

[invite57a1e779]

c'est pas grave, laisse tomber. C'est juste que je ne suis pas convaincu a 100%

sinon dans ce cas la comment faire pour trouver

Les trois premiers termes , t sont divisibles par 3, donc, pour non multiple de 3, on aura .

Ton énoncé ne demanderait-il pas pour quelles valeurs de divise

[invite4c8f7e37]

c'est pas grave, laisse tomber. C'est juste que je ne suis pas convaincu a 100%

sinon dans ce cas la comment faire pour trouver

Je me suis trompé, la racine en question c'est 1 et non pas 3

Donc on calcule P(1) et on doit trouver 0 or moi je trouve -3-n .

est ce que (X-1)^3 divise P

[invite57a1e779]

Je me suis trompé, la racine en question c'est 1 et non pas 3

Donc on calcule P(1) et on doit trouver 0 or moi je trouve -3-n .

est ce que (X-1)^3 divise P

Moi, je trouve P(1) = -3.

[invite4c8f7e37]

donc ou il est le problème ?

la méthode est fausse ?

[invite57a1e779]

donc ou il est le problème ?

la méthode est fausse ?

Je pencherais plutôt pour un énoncé fautif...

[invite4c8f7e37]

ok ! c'est pas grave ,l'essentiel c'est de comprendre et retenir la méthode, ce qui est le cas. Merci pour l'aide.