polynômes

[rajamia]

salut à toutes et à tous.

je veux savoir pourquoi si on avait un polynôme à coefficients dans un corps binaire et avec des indéterminées en puissance pair seulement, est un carré parfait c-à-d que ou

merci cordialement
-----

[invitec053041c]

Bonjour.

J'imagine que ta condition sur le corps fini t'implique 1+1=0 (j'espère en tout cas ).

Dans ce cas, pour un polynôme du genre .
En preant
, on se rend compte que P=Q². Car tous les monômes "parasytes" sont coefficientés d'un (1+1)=0.

Ca reste une conjecture, mais ça se montre certainement facilement en remarquand cette particularité.


François

[rajamia]

d'accord ladescat je suis tout à fait d'accord en prenant quelques exemples on vérifié que c'est vrai, mais ce que je veux moi une démonstration rigoureuse,
merci pour ton intervention

[invitebb921944]

J'imagine que ta condition sur le corps fini t'implique 1+1=0 (j'espère en tout cas ).

F2, c'est Z/2Z. Donc effectivement 2=0 dans Z/2Z.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb921944]

Soit p dans F2.
Alors p s'écrit :






où q(x) est un élément de F2

Je sais pas du tout si c'est juste je viens de le faire mais si c'est faux, l'idée est là : faire apparaître les termes manquants pour la factorisation sous forme d'une somme.

[invitec053041c]

C'est bon je tiens une démonstration .

Si pour
On pose

On veut calculer:



Regardons le coefficient du monôme de Q².
On montre facilement que ce coefficient vaut:



Si k est impair, alors on a (k-0+1)=k+1 termes dans cette somme. On a donc un nombre pair d'éléments égaux 2 à 2. Comme (1+1)=(0+0)=0, ça nous fusille tous les monômes de degré impair.

Si k est pair, alors on a (k-0+1)=k+1 termes dans cette somme. On a donc un nombre impair d'éléments symétriques 2 à 2 qui s'annulent tous, sauf l'élément central qui vaut
Donc on retombe bien sur P .

François

[invitebb921944]

Bin ouais mais dans F2 à part 1 je vois pas trop à quoi peuvent être égaux tes ak.
Non ?

[rajamia]

oui GANACH je pense que ton raisonnement est juste,bravo

[invitebb921944]

Il y a une erreur dans l'indice de ma somme.
Je pense que c'est juste si l'inégalité entre i et j est stricte !

[rajamia]

oui mais l'idée est clair

[invitec053041c]

Bin ouais mais dans F2 à part 1 je vois pas trop à quoi peuvent être égaux tes ak.
Non ?

Ben 0 ou 1, c'est écrit, c'est clair non ?
J'ai d'ailleurs utilisé le fait que pour a appartenant à F2, a+a=0 et a²=a
Je ne vois pas en quoi ma démonstration ne vous va pas.

[invitec053041c]

Au passage, il y a une erreur:

On veut calculer:

Il fallait évidemment lire:

[invitebb921944]

Au passage ta démo m'a l'air bonne !

[FonKy-]

Regardons le coefficient du monôme de Q².
On montre facilement que ce coefficient vaut:

Si je prend k=2n :
le coeff de X²ⁿ c'est a₀.a_2n + ... + a_2n.a₀ ? :X
J'aurai dis (a_n)²

Cela dit je rentre d'un repas la marge de betise peut etre importante. Sinon le raisonnement semble bon

[invitec053041c]

Si je prend k=2n :
le coeff de X²ⁿ c'est a₀.a_2n + ... + a_2n.a₀ ? :X
J'aurai dis (a_n)²

Cela dit je rentre d'un repas la marge de betise peut etre importante. Sinon le raisonnement semble bon

Tu as raison, mon raisonnement est bon jusqu'à k=n. Ensuite les sommes sont décalées,je ne m'y suis pas penché beaucoup, mais ça se fait certainement en 2min.

[FonKy-]

Tu as raison, mon raisonnement est bon jusqu'à k=n. Ensuite les sommes sont décalées,je ne m'y suis pas penché beaucoup, mais ça se fait certainement en 2min.

Ce qui me gene le plus c'est pas l'erreur mais le mot "facilement" que tu as employé je pense qu'on l'utilise a outrance et qu'il vaut mieux tout démontré , ca évite les surprises

FonKy-

[invitec053041c]

Je n'ai pas dit facilement .

EDIT: ok dans mon post initial .

[invitec053041c]

Bon, la cause est entendue pour mes X^k avec k<n.

Maintenant, le coefficient de X^(n+k) est ak.an+...+an.ak (il y a n-k+1 termes)
Si (n+k) est impair, alors (n-k) est impair (suffit d'écrire n+k=2p+1, ça vient tout seul).
Il y a donc un nombre pair d'éléments symétriques dans la somme, et le coefficient est donc nul.

Si (n+k) est pair, alors il y a un nombre impair d'éléments symétriques dans la somme, sauf celui du centre qui vaut :

Et les coefficients pour k>n sont aussi pliés, donc on a bien (enfin) montré que Q²=P .

[Médiat]

Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ?



Je me suis peut-être planté dans les indices, mais je trouve dommage de regrouper les termes de même degré uniquement pour pouvoir les dégrouper ensuite

[Médiat]

Je me doutais bien que je ne pouvais pas écrire une phrase aussi longue en latex sans me planter plusieurs fois, il fallait lire :

[Médiat]

Une question annexe : à quoi servent ces polynomes ? Je suppose que la variable X peut prendre ses valeurs dans un autre ensembke que (sinon , et il n'existe que 4 polynomes 0, 1, X et X + 1)

[invitec053041c]

Une question annexe : à quoi servent ces polynomes ? Je suppose que la variable X peut prendre ses valeurs dans un autre ensembke que (sinon , et il n'existe que 4 polynomes 0, 1, X et X + 1)

C'est ce que je me demandais . Et d'ailleurs, X+1=1 si X est à valeur dans F2.

Sinon bien vu pour le développement du carré , à partir de plus de 2 termes ça m'embrouille un peu .

[Médiat]

Et d'ailleurs, X+1=1 si X est à valeur dans F2.

Tu es sur ?

[invitec053041c]

Tu es sur ?

Ben, presque, non ?

Si X=0, 0+1=1
Si X=1, 1+1= 0

Je suis idiot, je pensais à l'algèbre de Boole avec 1+1=1 .

[invite35452583]

Une question annexe : à quoi servent ces polynomes ? Je suppose que la variable X peut prendre ses valeurs dans un autre ensembke que (sinon , et il n'existe que 4 polynomes 0, 1, X et X + 1)

Bonjour,
d'habitude tu es plus formel que cela, papa ( ).
Il n'existe que 4 fonctions polynomiales de F2 dans F2 (d'ailleurs il ne peut y en avoir plus car il n'y a que 4 fonctions tout court de f2 dans F2).
Ces polynômes servent notamment :
i) l'étude de l'irréductabilité de polynôme de Z[X] : si P est irréductible dans Fp[X] alors il l'est dans Z[X] (il suffit de passer au quotient à partir de P=QR dans Z[X] pour obtenir une contradiction). Il y a des algorithmes très efficaces pour factoriser dans les Fp[X]. La réciproque "un polynôme P dans Z[X] dont tous ses images dans les Fp[X] sont réductibles dans Fp[X] est réductible dans Z[X]" est fausse par contre.
ii) l'étude des extensions de corps de F2 (et là les fonctions polynomiales "deviennent de plus en plus nombreuses")
...

Sinon il est inutile de se battre avec les indices dans la preuve :
i) soient deux polynomes de F2[X], on a (P+Q)²=P²+2PQ+Q²=P²+Q², (PQ)²=P²Q² donc P->P² est un morphisme d'anneau de F2[X]
ii) on a donc (P1+...+Pn)²=P1²+...+Pn² pour tous polynômes P1, P2,...,Pn de F2[X] (soit par une réurrence facile ; soit en "admettant" le résultat, admettre étant ici un grand mot : généralement ceux qui manipulent F2[X] ont depuis bien longtemps montrer ce type de récurrence)
iii) on applique à P(X)² :
on obtient P(X)²=P(X²)
On a ainsi un polynôme de F2[X] est un carré si et seulement si sa dérivée formelle est nulle ce qui se généralise (avec un peu de travail sans plus) en un polynôme à coefficients dans un corps fini* de caractéristique p (fini) est une puissance n-ème si et seulement si sa dérivée formelle est nulle. (on a P(X)^p=P(X^p) si ce coprs est Fp, pour les autres le Froebenius a->a^p est surjectif, ainsi * fini peut être remplacé par parfait de caractéristique fini)

[invitec053041c]

Sinon il est inutile de se battre avec les indices dans la preuve :
i) soient deux polynomes de F2[X], on a (P+Q)²=P²+2PQ+Q²=P²+Q², (PQ)²=P²Q² donc P->P² est un morphisme d'anneau de F2[X]

Et la lumière fut...

[Médiat]

d'habitude tu es plus formel que cela, papa ( ).

Quand je pense que j'ai écrit "la variable X peut prendre ses valeurs dans un autre ensemble que F2", pour éviter de parler de polynomes formels (Tu quoque mi fili )

Ces polynômes servent notamment :
i) l'étude de l'irréductabilité de polynôme de Z[X]
ii) l'étude des extensions de corps de F2

Merci pour ces réponses.

P->P² est un morphisme d'anneau de F2[X]

Infiniment plus élégant (et plus instructif)...

[FonKy-]

Je vais sans doute paraitre grossier mais pour moi ca ne veut rien dire. J'ai du mal a comprendre le i=j+1 en fait :X car si on développe dans un premier temps le sum de droite, tous les j disparaissent.. enfin , j'arrive pas a voir a quoi ca correspond >

FonKy-

nb: sinon ya pas un petit fils qui se balade sur le forum ?

[rajamia]

salut à tous
Citation:
Posté par Médiat Voir le message

ce qu'il fallait écrire c'est

[invitec053041c]

Je vais sans doute paraitre grossier mais pour moi ca ne veut rien dire. J'ai du mal a comprendre le i=j+1 en fait :X car si on développe dans un premier temps le sum de droite, tous les j disparaissent.. enfin , j'arrive pas a voir a quoi ca correspond >

FonKy-

nb: sinon ya pas un petit fils qui se balade sur le forum ?

C'est une somme "triangulaire" . On initialise la somme de gauche à un rang supérieur à chaque fois.
Par exemple: