Polynomes

[invite00970985]

Bonjour,


J'ai une question à la quelle je n'arrive pas à répondre :

Déterminer tous les polynômes tels que (X²+1)P''-6P=0


J'ai réussi à trouver que P'' n'avait qu'une seule racine, mais après je suis bloqué. Quelqu'un peut m'aider ?
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[invite57a1e779]

La considération des termes de plus haut degré permet de déterminer le degré des solutions de ton problème.

[invite00970985]

Merci de ta réponse. Mais est ce que ce que j'ai trouvé (une seule racine) est utile ou pas du tout ?

[invite00970985]

C'est bon, je pense avoir trouvé:

Soit le coefficient du terme de plus degré non nul de P. L'équation mène à :
. Vu que , on a n=3= deg(P).

Donc P''=C(X+a), et on a : . En dérivant ça 2 fois, on obtient une équation en a, qui une fois résolue donne 1/2.

Donc au final, P=C(X²+1)(X+1/2), C un réel quelconque.

Est-ce bon ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite00970985]

Edit : je trouve a=0

[invite57a1e779]

Edit : je trouve a=0

Ca me paraît bon.