Polynomes

[invite5898d809]

Bonjour,

je voudrais savoir si par hasard vous pourriez m'aider pour ces deux questions s'il vous plaît. Merci beaucoup!

Théorème 1 : Soit Pun polynôme de C[X] dont l'ensemble des racines est R={r indice 1 (que je noterai r1), ..., rs}, la multiplicité de ri étant αi, pour tout entier i compris entre 1 et s. Alors, pour tout xappartenant à C\R, P'(x)/P(x)= Σde i=1 à s de αi/(x-ri)

1. En reconnaissant en P'/P la dérivée d'une certaine expression, démontrer le théorème 1 dans le cas où P est un polynôme à coefficients réels dont toutes les racines sont réelles.

2.En utilisant le srègles de dérivation d'un produit de s termes, donner une autre démonstration du théorème1, valable cette fois pour tout polynôme de C[X].

Je vous remercie encore!
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[erik]

En reconnaissant en P'/P la dérivée d'une certaine expression

tu vois pas là ? à ton avis quelle expression admet une dérivée de la forme u'/u ?

[azt]

Salut,
P'(x)/P(x) c'est la dérivée de quoi à ton avis ?

[invite5898d809]

Je sais bien que c'est la dérivée de ln(P), mais le problème vient ensuite pour montrer le théorème à l'aide de cela. Pourriez-vous me donner un coup de main s'il vous plaît?

[A voir en vidéo sur Futura]

[erik]

Si r1,r2....rs sont les racines réelles de ton polynome, sous quel forme (de quel façon) peut tu écrire ce polynome ?

[invite5898d809]

peut-on l'écrire (x-r1)^α1*...*(x-rs)^αs, mais alors comment dérive t-on cette expression pour trouver le deuxième membre?? merci encore pour tes indications et ton aide.

[erik]

Ok on avance,

On veut obtenir P'(x)/P(x)=.... , comme tu l'a déja fait remarquer plus haut P'(x)/P(x) = (ln(P(x))'

prend le logarithme de ton polynome, utilise les propriétés de ln, voit ce que cela donne. Et hop y'a plus qu'à dériver

[invite5898d809]

c'est bon, pour la première question j'ai trouvé! Merci! Maintenant je me mets à la deuxième. Tu pourrais me donner une indication s'il te plait?

[invite5898d809]

je me demande en fait quelle est la formule pour dériver un produit de la forme (x-r1)^α1*...*(x-rs)^αs, pourriez-vous m'aider s'il vous plaît? merci!

[erik]

Ah, on en est toujours là

bon tu veux dériver un produit de polynome de degré 1.

Pour commencer quel est la dérivée de f(x)*g(x) ? puis quel est la dérivée de f(x)*g(x)*h(x) (allez hop on calcule, courage) ?

Là tu devrais sentir quelle est la dérivée de f1(x)*f2(x)....*fn(x)

maintenant dans ton cas fi(x) sont de la forme f(x)=(x-r)^a.

Avec ça tu devrais pouvoir avancer

[invite5898d809]

merci pour ton aide, j'y suis parvenu finalement!!