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Dérivabilité de x * racine de x



  1. #1
    kNz

    Dérivabilité de x * racine de x


    ------

    Bonjour à tous,

    Dans un exercice, on me demande tout d'abord d'étudier la dérivabilité de la fonction , appartenant à

    Grâce au taux d'accroissement je trouve que f est dérivable en 0 et que (quand h -> 0)

    Ensuite, on me demande de justifier que f est dérivable sur et de calculer f'(x) , pour x > 0.

    J'ai écrit que l'on pouvait poser f(x) = u(x) * v(x) où u(x) = x et v(x) =

    Or la dérivée d'une telle fonction est :

    f'(x) = u'(x) * v(x) + v'(x) * u(x)

    Soit ici f'(x) = 1 * + * x

    Ici l'enseble de définition est donc

    On a donc > 0 ,

    On me demande ensuite de déduire des deux questions précédentes si l'équivalence suivante est vraie ou fausse :

    u et v désignant deux fonctions sur un intervalle I, u * v est dérivable sur I ssi u et v sont dérivables sur I.
    A première vue j'ai envie de répondre qu'elle est fausse, si on pose I = R+, u(x) = x et v(x) = , u et v sont toutes deux dérivables sur I, mais u * v ne l'est pas.

    Mais en fait je me perd un peu là dedans, un coup de main serait le bienvenu ;o)

    Merci beaucoup.

    Cordialement.

    -----

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  3. #2
    Nox

    Re : Dérivabilité de x * racine de x

    Bonjour,

    Pour ce qui concerne l'affirmation ton raissonenement est bon a priori

    Cordialement,

    Nox
    Nox, ancien contributeur des forums de maths et de chimie.

  4. #3
    kNz

    Re : Dérivabilité de x * racine de x

    Bon je reprend,

    je me suis trompé :

    A première vue j'ai envie de répondre qu'elle est fausse, si on pose I = R+, u(x) = x et v(x) = , u et v sont toutes deux dérivables sur I, mais u * v ne l'est pas.
    En fait, ici u est dérivable sur I tandis que v est dérivable sur J = ]0;+oo[ et u est également dérivable sur J, car J est inclus dans I, par conséquent u*v est dérivable sur J.

    Donc l'équivalence est vraie mais c'est de l'instinctif pour l'instat, si qqun pouvait m'aider

    Merci.

    Cordialement.

  5. #4
    kNz

    Re : Dérivabilité de x * racine de x

    Bonjour,

    Je ne comprend pas pourquoi on arrive à montrer que f(x) = x * racine de x est dérivable en 0, et qu'ensuite on nous demande de justifier que son ensemble de dérivabilité exclut le 0 :O

    Merci.

    Cordialement.

  6. #5
    matthias

    Re : Dérivabilité de x * racine de x

    Tu t'emmêles un peu les pinceaux là.
    Ce que tu sais, c'est que si u et v sont dérivables sur I, alors u*v est dérivable sur I.
    Ce qu'on cherche à savoir c'est si il y a équivalence, c'est-à-dire si u*v est dérivable sur I, u et v sont-elles nécessairement dérivable sur I ?

    Et c'est là que tu utilises u=x, v=.
    Tu sais d'office que u et v étant dérivables sur , u*v est aussi dérivable sur .
    Ensuite tu montres à la main que en fait u*v est aussi dérivable en 0, donc u*v est dérivable sur .
    Ca c'est ce que tu a fait.
    Et ça te donne un contre-exemple montrant que l'équivalence est fausse puisqu'ici tu as : u*v dérivable sur I= sans que v soit dérivable sur I.

    PS: fais attention le code LaTeX ne passe pas avec un simple copier/coller, il faut utiliser le bouton "citer".

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    kNz

    Re : Dérivabilité de x * racine de x

    Merci matthias d'avoir mis du clair dans mon esprit

    Je crois avoir à peu près tout compris maintenant.

    PS: je n'ai par contre pas percuté pour ta remarque concernant le Latex

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  10. #7
    matthias

    Re : Dérivabilité de x * racine de x

    Citation Envoyé par kNz
    PS: je n'ai par contre pas percuté pour ta remarque concernant le Latex
    Regarde ce qu'a donné ta citation du message #3 (v(x)=).

  11. #8
    kNz

    Re : Dérivabilité de x * racine de x

    Ahhh exact, merci du conseil ;o)

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