exercice analyse

[invite3792c4ec]

bonjour, j'ai un exercice a rendre et je ne sais pas vraiment comment m'y prendre

soit la suite (u_n)n appartient à N définie par u_n+1=u_ne^-(1+un) et u₀=1
a. si cette suite est convergente quelle est sa limite ?
b. étudier le comportement de cette suite puis sa convergence.
c. soit la suite (s_n)n supérieur ou égal à 0 définie par s_n=somme des k=o à n des u_k
i. quel est le comportement de cette suite ?
ii. montrer que pour tout n: (un+1/un) inférieur ou égal à1/e
iii. en déduire que pour tout n s_ninférieur ou égal à (e/(e-1))
iv. cette suite est-elle convergente ?

j'ai réussi la 1ere question en montrant que si la suite converge, elle a donc une limite, donc u_n+1-u_n=A tel que limA =0
donc u_n+1=u_n
u_n=u_ne^-(1+un)
e^-(1+un)=1
1+u_n=0
u_n=-1
donc la limite est -1

mais pour la suite je n'est pas réussie j'ai calculé u_n+1/u_n=e^-(1+un) supérieur à 0
mais cela ne permet pas de dire que la suite est décroissante.

pouvez vous m'aider ? merci
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[pallas]

fais la difference de u(n+1) - u(n)

[Tiky]

Le raisonnement de ta première réponse est faux. Tu dois étudier la fonction . En utilisant la continuité de la fonction, tu peux prouver que la limite de la suite est nécessairement un point fixe de .

[invite3792c4ec]

merci de votre aide, je pense m'en être sortie pour cette exercice, à une exception, la question iii)
pourriez vous m'aider ? merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tiky]

merci de votre aide, je pense m'en être sortie pour cette exercice, à une exception, la question iii)
pourriez vous m'aider ? merci

Tu as . Donc

Tu en déduis que .

Tu devrais savoir faire la suite.

[invite3792c4ec]

d'accord merci pour ton aide