Exercice Analyse

[Deeprod]

Je viens vous demander quelques pistes pour cet exercice qui me déroute un peu, car je ne vois pas trop par où m'y prendre :

Soit f dans C²(R) -> R
x dans R
h > 0

Montrer qu'il existe q dans ]0,1[ tel que :

f(x) - 2f(x+h) + f(x+2h) = h²f''(x+2qh)


En fait, j'ai souvenir d'une définition de la dérivé avec justement un "il existe q dans ]0,1[", mais pas de résultat apres recherches. Je pense que sa peut être un clef de l'exercice (si elle existe vraiment).

Sinon, un ou deux autres pistes ?

Merci
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[Romain-des-Bois]

Les formules de Taylor te disent-elles quelque chose ?

[Deeprod]

Oui en effet
J'y retourne merci !

[Romain-des-Bois]

Re !

Mon idée c'était d'écrire Taylor-Lagrange deux fois

f(x+h) = ... (avec q dans [0;1])
f(x+2h) = ... (avec q' dans [0;1])

mais rien ne dit q=q'... pas si simple en fait !


Romain

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deeprod]

en ce qui me concerne, j'ai appliqué Taylor Lagrange (merci à toi ) à la fonction g sur l'interval [x,x+h] tel que :

g(x) = f(x) - f(x+h)

J'obtient la formule demandé mais avec deux termes supplementaires que je n'arrive pas à supprimer...
Ensuite on peut faire apparaitre le q, puisque [x,x+h] c [x,2hq]

[Romain-des-Bois]

en ce qui me concerne, j'ai appliqué Taylor Lagrange (merci à toi ) à la fonction g sur l'interval [x,x+h] tel que :

g(x) = f(x) - f(x+h)

J'obtient la formule demandé mais avec deux termes supplementaires que je n'arrive pas à supprimer...
Ensuite on peut faire apparaitre le q, puisque [x,x+h] c [x,2hq]

J'avais pensé à ça aussi, mais pareil, ça marche pas

'doit y avoir une ruse

[Deeprod]

j'obtient

Il existe s tel que...
f(x+h) - f(x+2h) = f(x) - f(x+h) + hf'(x) - hf'(x+h) + h²f''(s) + h²f''(s + h)

"h²f''(s + h)", on peut l'ecrire h²f''(x +2hq) donc c'est le membre de droite
"f(x+h) - f(x+2h) = f(x) - f(x+h)" c'est le membre de gauche
"hf'(x) - hf'(x+h) + h²f''(s)" : c'est de trop...

Mais on est pas loin d'une def de la dérivé :
lim (f(x+h) - f(x)) / h = f'(x)

[invite09e593f7]

Je crois que tu as fait un petit oubli. Il me semble qu'il faut diviser les deux derniers termes par (n+1)!, c'est à dire 2. Après je n'ai pas approfondi le calcul, mais j'ai quand même des dérivée premières qui ne veulent pas sen aller.

[invite09e593f7]

Il y a aussi une petite erreur de signe, après modification de ton calcul j'obtiens ça :

f(x+h) - f(x+2h) = f(x) - f(x+h) + hf'(x) - hf'(x+h) + h²f''(s)/2 - h²f''(s + h)/2

Peut-être n'as tu pas fait ces erreurs sur ta feuille mais peut-être que cela peut expliquer tes difficultés.
Ceci dit je ne suis pas arrivé non plus à finir le calcul.

[Romain-des-Bois]

Salut !

Quelques petites remarques : effectivement, comme l'a dit Stratov, Taylor Lagrange, ça donne :


Du coup, ça peut parfois arranger (avec la continuité de f'') :
si on a du alors, il existe tel que

Avec le théorème des accroissements finis, on peut écrire :



(d'ailleurs, je me suis aperçu que les accroissement finis, c'est juste Taylor Lagrange avec n=0 )

Mais bon, j'arrive pas à conclure non plus...

De quel niveau ton exo ?


Romain

[Deeprod]

Je viens d'entrer en MP, et on a pas encore commencé de cours d'analyse en SPE. Donc il doit être faisable en MPSI...

Sinon, je comprend pas ta simplification que tu justifie grâce à la continuité. Sinon pas de pb pour le TAF.

[Romain-des-Bois]

OK, donc à mon avis toute la correction de l'exo repose sur Taylor Lagrange.

Comme f'' est continue, elle prend toutes les valeurs entre f''(q₁) et f''(q₂), il y a donc au moins un réel q₃ (tout dépend si f'' est injective ou non) tel que f''(q3) = moyenne(f''(q₁);f''(q₂))

Mais bon ça solutionne pas le problème...


Romain

EDIT : je vais le mettre dans la rubrique révisions avec un lien vers cette discussion... ça pourra intéresser quelqu'un !

[invite09e593f7]

Apparement ce genre d'exercice se résoud avec le théoèreme des accroisements fini, et le théorème de Rolle. Peut-être en essyant de se ramener à un taux d'accroissement nul, genre pour les termes que nous avons en trop.

[Romain-des-Bois]

Apparement ce genre d'exercice se résoud avec le théoèreme des accroisements fini, et le théorème de Rolle. Peut-être en essyant de se ramener à un taux d'accroissement nul, genre pour les termes que nous avons en trop.

Bah Rolle c'est un cas particulier des accroissements finis et les accroissements finis c'est un cas particulier de Taylor Lagrange on tourne autour

A mon avis, il faut faire Taylor à la bonne fonction

[Garf]

Je verrais bien deux applications du théorème des accroissements finis d'affilée.

Première application : il existe k et l compris entre 0 et 1 tels que f(x)-2f(x+h)+f(x+2h)=h(f'(x+h(k+1))-f'(x+hl)).

Deuxième application : il existe q compris entre 0 et 1 tel que f(x)-2f(x+h)+f(x+2h)=hh(k-l+1)f''(x+2qh).

Bon, c'est pas encore ça... J'y réfléchirai vraiment plus tard.

[Deeprod]

On peut s'en sortir visiblement en utilisant deux fois le TAF effectivement, mais de cette manière :

TAF de [x,x+h] de f(x) - f(x+h)
Il existe c dans [x,x+h] tel que ...

TAF de [x+ch, x+ch+h] à f'(x), on arrive à simplifier les f' pour avoir donc le f'' que l'on veux.