exercice analyse

[invitec5b2e3e6]

pouvez-vous m'aider a resoudre cet exercice :

I/ en utilisant la convexité de la fonction f(x)=x log x sur ]0,+∞[ montrer que pour tous a,b,x,y appartenant a ]0,+∞[ on a :
(x + y) log ((x+y)/(a+b)) <= x log (x/a) + y log (y/b)

II/ soit a>= 1 et f une fonction definie sur [0,+∞[ par f(x)=x^a

*montrer que f est convexe sur [0,+∞[
*montrer que qqsoit n dans N* et qqsoit x1,...,xn dans [0,+∞[ on a :
( ∑ xi )^a <= n^(a-1) ∑ xi^a
*en utilisant la convexité de la fonction f pour a=2 montrer que qqsoit n dans N* qqsoit v1,....,vn,w1,...,wn dans IR
ona :
(∑ vi wi )^2 <= (∑ vi^2) (∑ wi^2)
NB: toutes les sommes sont de i=1 a n
merci d'avance
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[inviteeef69825]

Waw, je croyais que j'allais torcher l'exo, c'est du non trivial en fait.

1) Il te faut ces fichus l1 et l2 tels que l1+l2=1
pour cela on utilise l'astuce démoniaque 1=a/a=b/b !!
alors (x+y)/(a+b) = (x/a).(a/(a+b))+(y/b).(b/(a+b))
applique ensuite la convexité de f (que tu auras montré au préalable en la dérivant deux fois... (tiens d'ailleurs c'est quoi a dérivé de x->log(x)?))
attention, ne remplace f par son expression qu'à la toute fin, sinon tu vas perdre tu temps à tout écrire (c'est une des règles d'or de la convexité)

pour la suite c'est un peu plus facile (utilise la concavité du ln), je te laisse chercher.