Propriété archimédienne

[invite206cea37]

Bonjour à tous,

j'aimerais faire appel à vos talents sachant que j'ai des difficultés en maths :

Ennoncé : lim u_n = +00 à Démontrer.
n->+00

Réponses :
Déjà j'ai bcp de mal à démontrer ça parce que c'est quelque chose d'évident, mais quand j'ai relu mon cours le seul théorème qui pourrait m'aider à le démontrer ça serait la propriété d'archimède qui dit que : quelque soit a et b appartement a R*+ il existe n appartenant à N* tel que b<= n*a.

J'ai du mal à l'appliquer à l'énoncé qu'on me donne, donc j'aimerais savoir d'abord si je suis sur la bonne route et après si on pouvait m'apporter un coup de pouce pour m'aider au raisonnement dans la démonstration qu'on me demande.

Merci bcp !
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[invitebe0cd90e]

Bonjour,

Si tu ne nous dit pas qui est u_n ca va etre difficile de t'aider...

[invite206cea37]

Humm pardon en effet vous risquiez pas d'aller loin...

ici dans l'exercice u_n = n

[invite57a1e779]

Bonjour,

Il suffit effectivement d'utiliser la propriété d'Archimède avec a=1. On obtient :

Quel que soit appartenant à R^*+ il existe appartenant à N^* tel que.

Par conséquent : pour tout entier , on a .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebe0cd90e]

Dans tous les cas il suffit vraiment d'appliquer la définition, et dans ce cas effectivement c'est très très simple.

Peux tu écrire formellement ce que veux dire, pour une suite, tendre vers l'infini ?

[invite206cea37]

God's Breath merci pour ta réponse j'ai compri

Jobherzt merci également pour ta réponse, en effet, il suffisait ensuite de voir qu'une suite qui tend vers + l'infini signifie : quelque soit "a" appartenant à R,
u_n > a

C'est bien ça ?

Maintenant si je veux prouver que lim n^p = +00
n->+00
il suffit que je dise :
on pose u_n= (n*...*n^p)
d'après le produit des suites réelles convergentes dans R(barre) qui dit que si l et l' sont défini dans R(barre) alors n*...*n^p est convergente dans R(barre) et est de limite l*l'

Est-ce que mon raisonnement tient la route ?

[invitebe0cd90e]

il suffisait ensuite de voir qu'une suite qui tend vers + l'infini signifie : quelque soit "a" appartenant à R,
u_n > a
C'est bien ça ?

bah non, tu vois bien que u_3 < 5... la bonne definition, c'est "pour tout a de R, il existe n tel que pour tout k>n, uk > a. Il faut faire tres attention, chaque partie de cette defintion est importante !!!

Maintenant si je veux prouver que lim n^p = +00
n->+00
il suffit que je dise :
on pose u_n= (n*...*n^p)

pourquoi ? il suffit de poser u_n=n^p, meme si ca n'a pas grand interet...

d'après le produit des suites réelles convergentes dans R(barre) qui dit que si l et l' sont défini dans R(barre) alors n*...*n^p est convergente dans R(barre) et est de limite l*l'

Est-ce que mon raisonnement tient la route ?

La ce que tu ecris ne veux simplement pas dire grand chose...

[invite206cea37]

Euh je me corrige un tit peu...

On pose u_n = n*...*n
p fois

l'ennoncé de mon théorème des suites reelles convergentes dans R(barres) est juste et à la fin je rajouterais : et est de limite l*l' c'est a dire :
lim(n*...*n)= lim n *...* lim n
p fois p fois

Mais voilà que je doute de la rigueur du raisonnement...

[invitebe0cd90e]

est ce que ca ne serait pas plus simple de le montrer directement comme pour la premiere question ? si tu tiens vraiment a utiliser le resultat precedent, remarque que n^p>n si n,p>0.

[invite206cea37]

beh en fait j'ai limpression que si je veux démontrer la limite de n^p la propriété archimedienne ne suffit plus car la propriété archimedienne ne démontre pas le produit de limite...

[invitebe0cd90e]

Bonjour,

deja on ne demontre pas une limite. Ensuite est ce que tu as vraiment besoin de la propriété archimedienne pour prouver que n^p finit par devenir plus grande que n'importe quel nombre reel ?? Enfin, je t'ai proposé d'utiliser le fait que n^p > n pour tout n,p>0.