A= C + iS

invitee1c9684c · 27/03/2011, 11h01

Bonjour à tous,

J'ai un problème de math à résoudre,

Soit x et h deux réels ( h $\text{[math]}$ 0 [2k $\text{[math]}$ ] ) et n un entier non nul, on pose :

C= cos(x) + cos ( x+h) + ... + cos ( x+nh )
S= sin(x) + sin ( x+h) + ... + sin ( x+nh )

Calculer A = C + iS, en déduire alors S et C.

En gros on me demande de calculer :

A = cos (x) + i sin ( x ) + cos (x+h) + i sin ( x+ h ) + ... + cos ( x + nh ) + i sin ( x + nh )

A = $\text{[math]}$ e^i(x+kh)

En gros je ne vois pas où ils veulent en venir... ? Pouvez vous m'éclairer ?

Cordialement,

Gsam.

invite9617f995 · 27/03/2011, 11h07

Bonjour,

Il faut réécrire A sous la forme :
$\text{[math]}$

Je te laisse réfléchir.
Silk

invitee1c9684c · 27/03/2011, 11h15

Merci, je vais réfléchir!

invitee1c9684c · 27/03/2011, 13h56

Voilà, j'ai réussi à transformer l'écriture.

J'en arrive donc à A=e^ix ( 1 + (e^ih)¹ + (e^ih)² + ... + (e^ih)ⁿ )

Et ???

Si je pose e^ih=b

alors ( 1 + b + b²+bⁿ ) me rappelle la somme des racines n ^eme de l'unité . Je fais fausse route ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite9617f995 · 27/03/2011, 14h03

Il faut plutôt y reconnaître la somme d'une suite géométrique

invite401b9562 · 27/03/2011, 14h05

Envoyé par gsam1988

Je fais fausse route ?

Oui !

e^{a+b} =?????

invitee1c9684c · 27/03/2011, 14h35

Envoyé par arthur254

Oui !

e^{a+b} =?????

e^{a+b} = e^a * e^b .

Je ne vois pas ce que ça m'apporte...

[QUOTE=silk78]
Re : A= C + iS
Il faut plutôt y reconnaître la somme d'une suite géométrique

D'accord...

A= e^ix x ( 1 - e^inh ) / ( 1 - e^ih )

Mais je ne vois vraiment pas sur quoi ça me mène...

invite9617f995 · 27/03/2011, 15h04

La somme de la suite géométrique c'est plutôt (1-e^i(n+1)h)/(1-e^ih).

A partir de l'expression A=e^ix(1-e^i(n+1)h)/(1-e^ih), je te conseille de multiplier au numérateur et au dénominateur par (1-e^-ih), puis développer tous les produits pour mettre A sous forme cartésienne pour pouvoir enfin conclure

Bon courage,
Silk

invite14e03d2a · 27/03/2011, 15h51

Envoyé par silk78

A partir de l'expression A=e^ix(1-e^i(n+1)h)/(1-e^ih), je te conseille de multiplier au numérateur et au dénominateur par (1-e^-ih), puis développer tous les produits pour mettre A sous forme cartésienne pour pouvoir enfin conclure

Silk

On peut aussi factoriser le numérateur par $\text{[math]}$ et le dénominateur par $\text{[math]}$ puis utiliser les formules d'Euler

invite9617f995 · 27/03/2011, 15h58

Oui, c'est effectivement un résultat beaucoup plus rapide et esthétique, merci Taladris

invitee1c9684c · 27/03/2011, 16h04

Je te remercie!

Je ne parviens toujours pas à le résoudre, j'ai bien suivi ce que tu m'as dis mais je me retrouve avec une expression de A encore plus complexe que je ne parviens pas à simplifier.

Je vais laisser tomber cet exo qui est finalement trop compliqué pour moi.

Je vous remercie pour votre aide en tout cas!!

invite57a1e779 · 27/03/2011, 16h45

Bonjour,

Il faut absolument avoir fait ce calcul une fois dans sa vie

$\text{[math]}$

On revient en sinus et cosinus et on sépare partie réelle et partie imaginaire pour obtenir C et S.

**acx01b** · 27/03/2011, 17h22

en plus si tu traces la fonction $\text{[math]}$ tu verras qu'elle est très jolie