Fonction classe C1

[thomas5701]

Bonjour, je suis tombé sur un énoncé du type:
Soit E = Mn(R) et f : E → E définie par f (M) = M^3. Montrer que f est de classe C 1 et calculer sa différentielle.

Pour justifier le caractère C1, la correction dit:
Les coefficients de M^3 sont des polynômes par rapport aux coefficients de M, donc f est de classe C 1 sur E.

Je ne comprend pas trop cela, je parle de la conclusion: "donc f est de classe C1". Quelqu'un pourrait-il m'éclairer sur ce point ! Je vous remercie d'avance !

Cordialement, thomas5701.
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[thomas5701]

Je pense que la raison doit être avec les dérivés partielles, car si on décompose M dans la base canonique de Mn(R), et M^3, on peut calculer les dérivées partielles de f(M) dans la base canonique. Sans expliciter les calculs, on peut dire qu'il s'agit de dérirvée partielles de polynôme par rapport aux vecteurs de la base, donc ces dérivées sont continues. Es-ce correct?

[thomas5701]

Personne pour valider ce que je pense?

[invite57a1e779]

Oui, ton interprétation est correcte.
Je m'étonne que ton cours ne signale pas qu'une application est de classe C¹ (et même C^k pour tout k) dès lors qu'elle est définie dans une base par des applications coordonnées polynomiales.

[A voir en vidéo sur Futura]

[thomas5701]

Merci de ta réponse. Malheuresement, ce n'est pas écrit comme tel, mais quand on y pense, c'est logique !