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fonction de classe C3



  1. #1
    maria02

    fonction de classe C3

    Bonsoir !

    Je n'arrive pas à commencer cet exo, ça doit être le TAF (peut être) mais je n'y arrive pas!

    On considére une fonction f de classe C3 sur un sément [a,b]
    Monter qu'il existe c appartenant à l'intervalle ]a,b[ tel que:

    f(b)=f(a)+(b-a)[f'(a)+f'(b)]/2 - [(b-a)^3] *f^(3)(c)/12

    ou f^(3) est la dérivée troisième de f.

    Indication: considérer la fonction g définie par:
    g(x)= f(t)-f(a)-(t-a)*[f'(a)+f'(t)]/2 + [(t-a)^3]*K/12

    ou K est une constante à bien choisir.


    Merci infiniment de votre aide!

    -----


  2. #2
    G13

    Re : fonction de classe C3

    Soit h(t)=f(t)-f(a)-(t-a)(f'(t)+f'(a))/2
    g(t)=h(t)+(t-a)^3*K/12
    Posons K=-12*h(b)/(b-a)^3
    alors g(b)=0
    de plus g(a)=0
    donc il existe tel que g'(c)=0
    de plus g't)=f'(t)-(f'(t)+f'(a))/2-(t-a)f''(t)/2+(t-a)^2*K/4
    donc g'(a)=0 donc il existe tel que g''(d)=0
    donc
    f''(d)-f''(d)/2-f''(d)/2-(d-a)f'''(d)/2+(d-a)*K/2=0
    donc f'''(d)=K
    donc g(b)=0 implique
    h(b)+(b-a)^3*f'''(d)/12=0
    CQFD

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