fonction de classe C3

[invitee0275a49]

Bonsoir !

Je n'arrive pas à commencer cet exo, ça doit être le TAF (peut être) mais je n'y arrive pas!

On considére une fonction f de classe C3 sur un sément [a,b]
Monter qu'il existe c appartenant à l'intervalle ]a,b[ tel que:

f(b)=f(a)+(b-a)[f'(a)+f'(b)]/2 - [(b-a)^3] *f^(3)(c)/12

ou f^(3) est la dérivée troisième de f.

Indication: considérer la fonction g définie par:
g(x)= f(t)-f(a)-(t-a)*[f'(a)+f'(t)]/2 + [(t-a)^3]*K/12

ou K est une constante à bien choisir.


Merci infiniment de votre aide!
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[invited749d0b6]

Soit h(t)=f(t)-f(a)-(t-a)(f'(t)+f'(a))/2
g(t)=h(t)+(t-a)^3*K/12
Posons K=-12*h(b)/(b-a)^3
alors g(b)=0
de plus g(a)=0
donc il existe tel que g'(c)=0
de plus g't)=f'(t)-(f'(t)+f'(a))/2-(t-a)f''(t)/2+(t-a)^2*K/4
donc g'(a)=0 donc il existe tel que g''(d)=0
donc
f''(d)-f''(d)/2-f''(d)/2-(d-a)f'''(d)/2+(d-a)*K/2=0
donc f'''(d)=K
donc g(b)=0 implique
h(b)+(b-a)^3*f'''(d)/12=0
CQFD