Analyse complexe

**mehdi_128** · 29/12/2007, 22h27

Bonsoir,voila je bloque sur cet exo:

Soit Uc C un ouvert convexe donc connexe .On rappelle que:f:U->C est harmonique si :

$\text{[math]}$ est de classe C2 et $\text{[math]}$

On rappelle que F:U->R est harmonique si et seulement si elle est partie réelle d'une fonction holomorpheF.

1/Soit: f:U->C une fonction holomorphe sur U.Montrer que f=Re(F) vérifie la propriété de la moyenne sur U.

2/En déduire que toute fonction harmonique sur U a valeur dans C vérifie la propriété de la moyenne sur U.

3/Montrer que toute fonction harmonique f:U->R vérifie le principe du minimum:si f admet un minimum local en a de U alors f est constante sur un voisinage de a .

merci d'avance ....

**indian58** · 30/12/2007, 07h02

Tu as fait quoi exactement et c'est quoi la propriété de la moyenne?

**mehdi_128** · 30/12/2007, 09h47

Envoyé par indian58

Tu as fait quoi exactement et c'est quoi la propriété de la moyenne?

justement je connais pas la propriété de la moyenne déja .....

invite4ef352d8 · 30/12/2007, 14h33

Salut !

la propriété de la moyenne c'est :

f(a)=1/(2Pi) *intégral de f(a+r*exp(ix))dx x de 0 a 2*Pi, pour tous r>0

commence par montrer (par un petit changement de variable) que les fonction holomorphe vérifie la propriété de la moyenne... apres les question 1 et 2 sont trivial.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**mehdi_128** · 30/12/2007, 15h55

Envoyé par Ksilver

Salut !

la propriété de la moyenne c'est :

f(a)=1/(2Pi) *intégral de f(a+r*exp(ix))dx x de 0 a 2*Pi, pour tous r>0

commence par montrer (par un petit changement de variable) que les fonction holomorphe vérifie la propriété de la moyenne... apres les question 1 et 2 sont trivial.

J'ai aucune idée de comment partir ,je vois pas du tout .....

invite4ef352d8 · 30/12/2007, 16h06

... tu vois vraiment pas ce que tu peux faire comme changement de variable sur cette intégrale??

**mehdi_128** · 30/12/2007, 16h35

Envoyé par Ksilver

... tu vois vraiment pas ce que tu peux faire comme changement de variable sur cette intégrale??

le vois pas pourquoi on veut faire un changement de variable ;sinon juste pour le fun j'aurai posé:

u=exp(ix)

invite4ef352d8 · 30/12/2007, 17h09

le vois pas pourquoi on veut faire un changement de variable >>> parceque je t'ai dit qu'il fallait en faire un

(et aussi parceque c'est franchement tenant de ce ramener à une intégral sur un courbe fermé quand meme)

sinon juste pour le fun j'aurai posé:

u=exp(ix)>>> tres bonne idée... fait le maintenant ^^

**mehdi_128** · 30/12/2007, 17h30

Envoyé par Ksilver

le vois pas pourquoi on veut faire un changement de variable >>> parceque je t'ai dit qu'il fallait en faire un

(et aussi parceque c'est franchement tenant de ce ramener à une intégral sur un courbe fermé quand meme)

sinon juste pour le fun j'aurai posé:

u=exp(ix)>>> tres bonne idée... fait le maintenant ^^

j'obtiens:

f(a)=[1/2iPi] .int[C(0,1] f(a+rz) .(dz /z)

ou : z=exp(ix ) c'est ca ?

invite4ef352d8 · 30/12/2007, 17h39

oui c'est ca. enfin juste un détail... quand on essai de prouver une égalité on evite d'écrire celle ci des le debut, ca nuit beaucoup à la comprhéension... tu veux prouver que si f est holomorphe alors f(a)= intégral de..., donc tu part de l'intégral, tu fais le changement de variable, et enfin tu la calcule par le th des résidu (ou meme la formule de cauchy ici...)

**mehdi_128** · 30/12/2007, 17h52

Envoyé par Ksilver

oui c'est ca. enfin juste un détail... quand on essai de prouver une égalité on evite d'écrire celle ci des le debut, ca nuit beaucoup à la comprhéension... tu veux prouver que si f est holomorphe alors f(a)= intégral de..., donc tu part de l'intégral, tu fais le changement de variable, et enfin tu la calcule par le th des résidu (ou meme la formule de cauchy ici...)

Ah je dois la calculer ?

J'ai compris le raisonnement ....Je vais essayer de calculer ca ....

**mehdi_128** · 30/12/2007, 18h01

C'est bon avec le théorème des résidus c'est direct car le pole est 0 :ca marche je trouve :

f(a)

Et pour montrer que ça marche pour Re(F);faut-il juste dire que c'est parce qu'on peut entrer la partie réelle dans l'intégrale ?

invite4ef352d8 · 30/12/2007, 18h02

Tous a fait

**mehdi_128** · 30/12/2007, 18h15

Envoyé par Ksilver

Tous a fait

Pour la 2 , il faut juste dire qu'une fonction harmonique <=> elle est la partie relle d'une fonction holomorphe F ?

invite4ef352d8 · 30/12/2007, 18h24

aussi oui (quand je te disais qu'elle était trivial ^^)

**mehdi_128** · 30/12/2007, 18h46

Envoyé par Ksilver

aussi oui (quand je te disais qu'elle était trivial ^^)

^^ par contre la 3 je fais comme dirait-on un blocage ....

invite4ef352d8 · 30/12/2007, 19h09

c'est un peu plus difficle, mais ca reste assez intuitif : si la fonction avait un maximim alors elle ne pourrait pas respecter le principe de la moyenne au tour de ce maximum puisque tous le long du cercle encerclant le maximum la valeur de la fonction est < au maximum, donc la valeur moyenne est < au maximum.

formellement, soit f harmonique ayant un maximum local en, alors il existe R telle que pour tous r<R f(a)>=f(x) pour tous x dans D(a,r)

or intégral[0.. 2Pi] de f(a)-f(a+r*exp(ix)) dx = 0 d'apres le résultat précedants. et si r<R f(a)-f(a+r*exp(ix)) est une fonction continu positive ou nul dont l'intégral est nul, elle est donc nul partous !

donc pour tous x dans D(a,r) f(x)=f(a)

apres en utilisant que f est la parti réel d'une fonction holomorphe tu en conclue que f est constante partous !

**mehdi_128** · 30/12/2007, 19h21

Envoyé par Ksilver

c'est un peu plus difficle, mais ca reste assez intuitif : si la fonction avait un maximim alors elle ne pourrait pas respecter le principe de la moyenne au tour de ce maximum puisque tous le long du cercle encerclant le maximum la valeur de la fonction est < au maximum, donc la valeur moyenne est < au maximum.

formellement, soit f harmonique ayant un maximum local en, alors il existe R telle que pour tous r<R f(a)>=f(x) pour tous x dans D(a,r)

or intégral[0.. 2Pi] de f(a)-f(a+r*exp(ix)) dx = 0 d'apres le résultat précedants. et si r<R f(a)-f(a+r*exp(ix)) est une fonction continu positive ou nul dont l'intégral est nul, elle est donc nul partous !

donc pour tous x dans D(a,r) f(x)=f(a)

apres en utilisant que f est la parti réel d'une fonction holomorphe tu en conclue que f est constante partous !

J'ai pas tout saisi:

1/la question portait sur le minimum mais ca change rien je pense

2/je comprend pas la dernière remarque

ourquoi si f est la partie réelle d'1 1 fonction holomorphe alors elle est constante partout ?

**mehdi_128** · 30/12/2007, 19h41

Envoyé par mehdi_128

J'ai pas tout saisi:

1/la question portait sur le minimum mais ca change rien je pense

2/je comprend pas la dernière remarque

ourquoi si f est la partie réelle d'1 1 fonction holomorphe alors elle est constante partout ?

et je n'est pas compris aussi pourquoi vous n'avez pas utilisé l'hypothèse du minimum ou du maximum

vous avez juste utilisé que l'intégrale est nulle donc f(x)=f(a) .... ?

invite4ef352d8 · 30/12/2007, 20h39

ba tu sais que ti une fonction holomorphe est constante sur tous un disque alors elle est consante partous non ? et tu sais meme peut-etre aussi que si sa parti réelle est constante sur un ouvert alors elle est aussi constante (on peut voir cela avec les condition de cauchy-reimann)

invite4ef352d8 · 30/12/2007, 20h41

ous avez juste utilisé que l'intégrale est nulle donc f(x)=f(a) ... >>> non pour pouvoçir faire intégral de g(t) =0=>g(t)=0, il faut savoir queg est continu (ca c'est acquis) et que g est postive, ca c'est l'hypothese du maximum qui permet de conclure.

**mehdi_128** · 30/12/2007, 20h47

Envoyé par Ksilver

ous avez juste utilisé que l'intégrale est nulle donc f(x)=f(a) ... >>> non pour pouvoçir faire intégral de g(t) =0=>g(t)=0, il faut savoir queg est continu (ca c'est acquis) et que g est postive, ca c'est l'hypothese du maximum qui permet de conclure.

Ah oui bien vu merci beaucoup .....

Ensuite ,j'ai une autre question ou je bloque :

La question est :
b/Soit:f:U->R une fonction harmonique et constante sur Va c U ou a appartient a U.
Montrer que les conjugués harmoniques de f sont constantes sur Va.

En déduire que f est constante sur U.

Je sais pas trop ce que c'est des conjugués harmoniques en plus ....

invite4ef352d8 · 30/12/2007, 21h07

je crois que les conjuqué haronique sont les "Im f" (si ta fonction est Re f)

enfait ce que te demande de faire cette question c'est exactement ce qu'on a fait à la question suivant : si la fonction est constante sur un voisinage de a alors elle est constante partous.

la c'est assez étrange... peut-etre que j'avait mal interprete rla question 3 qui pouvait aussi demander de montrer juste que si f est a un maximum/minimum global alors f est constante (c'est un plus faible et plus facile ce qu'on a fait) mais du coup j'ai peut-etre déja répondu à une question qui viens apres...

**mehdi_128** · 30/12/2007, 21h24

Envoyé par Ksilver

je crois que les conjuqué haronique sont les "Im f" (si ta fonction est Re f)

enfait ce que te demande de faire cette question c'est exactement ce qu'on a fait à la question suivant : si la fonction est constante sur un voisinage de a alors elle est constante partous.

la c'est assez étrange... peut-etre que j'avait mal interprete rla question 3 qui pouvait aussi demander de montrer juste que si f est a un maximum/minimum global alors f est constante (c'est un plus faible et plus facile ce qu'on a fait) mais du coup j'ai peut-etre déja répondu à une question qui viens apres...

Ah si j'ai bien compris d'après le principe du prolongement analytique, f est constante partout car Re(f) cte sur un voisinage de a et Im(f) est cte sur un voisinage de a ;mais:

comment montrer que les conjugués harmoniques de f sont constantes sur Va ?

invite4ef352d8 · 30/12/2007, 21h40

en utilisant les conditions de Cauchy rieman exactement comme je t'ai dit de le faire pour la question d'avant !

**mehdi_128** · 30/12/2007, 21h44

Envoyé par Ksilver

en utilisant les conditions de Cauchy rieman exactement comme je t'ai dit de le faire pour la question d'avant !

C'est quoi les conditions de Cauchy Riemann ?

invite4ef352d8 · 30/12/2007, 21h54

que si f=P+iQ alors

dP/dx=-dQ/dy
dQ/dx=dP/dy

(ou le contraire, sans l'ecrire je sais jammais ^^ )

**mehdi_128** · 30/12/2007, 22h02

Envoyé par Ksilver

que si f=P+iQ alors

dP/dx=-dQ/dy
dQ/dx=dP/dy

(ou le contraire, sans l'ecrire je sais jammais ^^ )

Ah oui bien vu !!n a juste a dire :f=Re(F)+iIm(F)=cte

Dans quelles mesures sont elles valables ?

**mehdi_128** · 30/12/2007, 22h09

Sans connaitre Re(f) et Im(f) ca parait hardu ...

invite4ef352d8 · 30/12/2007, 22h21

P et Q sont réel (ce sont les parti réel et imaginaire de f quoi) et f holomorphe.

ca te dit entre autre que si Re f est constant alors Imf est constant.

Analyse complexe