Classe d'une fonction

[invite39dcaf7a]

Salut,

Ca veut dire quoi qu'une fonction est de classe sur |R ?

Merci...
-----

[invitec314d025]

ça veut dire qu'elle est infiniment dérivable.
C⁰ = continue
C¹ = dérivable de dérivée continue
...

[invite39dcaf7a]

Ah OK !

Merci matthias !

[invite88ef51f0]

Salut,
Une fonction est Cⁿ, si elle est n fois dérivable et que sa dérivée n^ème est continue. Une fonction est si elle est Cⁿ pour tout n.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite39dcaf7a]

Une fonction est si elle est Cⁿ pour tout n.

Euh... je n'ai pas bien compris la fin...

[invite9b7da66e]

Euh... je n'ai pas bien compris la fin...

Une fonction C^oo est indéfiniment dérivable, la définition de Coincoin était pourtant clair non ?

[invite88ef51f0]

Une fonction C³, par exemple, est aussi forcément C², C¹ et C⁰... car la dérivabilité implique la continuité. Donc on appelle, une fonction qui est C¹, C², C³, ... , C^{12317315115318616}, ...

[invite21126052]

quelles sont les "applications" de la classe d'une fonction?

je veux dire... à quoi ça sert, à part des renseignements sur la fonction?

[invite88ef51f0]

C'est du vocabulaire, c'est tout... Ca permet de dire plus rapidement les choses.

[invite21126052]

ah bon, d'accord...merci

(j'aime bien ta reponse!!)

[invite9c9b9968]

quelles sont les "applications" de la classe d'une fonction?

je veux dire... à quoi ça sert, à part des renseignements sur la fonction?

c'est déjà pas mal d'avoir des renseignements sur une fonction, ainsi on peut savoir quels théorèmes on peut lui appliquer

[invite39dcaf7a]

Une fonction C³, par exemple, est aussi forcément C², C¹ et C⁰... car la dérivabilité implique la continuité. Donc on appelle, une fonction qui est C¹, C², C³, ... , C^{12317315115318616}, ...

OKI ! Merci pour vos réponses !

[invite71c59579]

Mais dans quels cas est-il nécessaire de savoir la classe d'une fonction?

[invitee65b1c3d]

Mais dans quels cas est-il nécessaire de savoir la classe d'une fonction?

Généralement, il n'est pas utile de connaître la classe d'une fonction.
La classe d'une fonction sert pour ce qui est de sa dérivabilité (si tu as une fonction tu peux dériver n fois et obtenir une fonction continue).
certains théorèmes ont besoin de la classe d'une fonction pour pouvoir conclure (connaître la classe permet alors d'avoir d'autres informations sur la fonction).

[invite39dcaf7a]

certains théorèmes ont besoin de la classe d'une fonction pour pouvoir conclure (connaître la classe permet alors d'avoir d'autres informations sur la fonction).

Tu pourrais citer le nom de ces théorèmes, pour voir... ?

[invitec314d025]

Bon, déjà, vous pouvez voir que la plupart des fonctions usuelles sont
Maintenant un exemple classique d'utilisation de la classe d'une fonction :

Formule de Taylor avec reste de Young:
si f est Cⁿ sur un intervalle I contenant , alors il existe une fonction telle que:

et pour tout x dans I :

ou bien sûr désigne la dérivée k^ième de f
ça peut paraître barbare à première vue, mais ça permet déjà les développements limités.
Vous pouvez essayer de voir ce que ça donne sur des fonctions polynomiales, ou d'autres fonctions dont vous savez calculer facilement les dérivées.

[invitee65b1c3d]

Tu pourrais citer le nom de ces théorèmes, pour voir... ?

Des noms ? Hum de tête comme ça ?
Il y a les différentes formules de taylor (dont une citée juste avant), le théorème de truc(1) qui dit qu'une fonction de deux variable C1 sur chacune de ses variable est C1 par rapport aux deux en même temps (ça ne marche pas avec C0, ni avec dérivable).

Il y a aussi certains théorèmes de géométrie différentielle (mais là je ne saurais pas les citer)

De mémoire, la formule de Parseval doit avoir une condition de classe, et l'un des théorèmes de Dirichlet (sur les séries de Fourier) nécessite que la fonction soit continue et C1 par morceaux


(1) ce n'est pas son vrai nom

[invite9c9b9968]

de même tous les théorèmes de dérivation et d'intégration (pour les convergences uniformes, les applications du théorème de Lebesgue, etc...) nécessitent la connaissance de la classe des fonctions étudiées

[invite39dcaf7a]

Je vois ce qui m'attend...

Merci encore pour vos réponses !

[invitec314d025]

juste au cas ou vous seriez motivés, je pense que la démonstration (par récurrence) de la formule de Taylor avec reste de Young est accessible pour des terminales (une fois qu'on a compris le rapport entre dérivabilité d'une fonction et la formule à l'ordre 1)
c'est loin d'être une formule aussi terrible qu'elle en a l'air, et elle est d'une efficacité redoutable
et un petit point qui peut paraître obscur à certains:

[invite39dcaf7a]

Je vais essayer...

Pour la base de la récurrence, je trouve f(X) = f(Xo), c'est ça ?

[invitec314d025]

JPour la base de la récurrence, je trouve f(X) = f(Xo), c'est ça ?

Euh non, plutôt :
avec la condition sur la fonction

ce qui dit juste : f est continue en

[invite39dcaf7a]

Oui, exact, j'ai omis la fonction epsilon...

[invitec314d025]

mais laisse tomber, je me suis avancé un peu vite, c'est quand même chaud.
Par contre tu peux facilement la montrer à l'ordre 0 et 1
Ou sur les fonctions polynômiales ...

[invite39dcaf7a]

c'est quand même chaud.

En effet ! Je vais me contenter de le montrer jusqu'à n=1 !

[invite0f5c0a62]

le théorème de truc(1) qui dit qu'une fonction de deux variable C1 sur chacune de ses variable est C1 par rapport aux deux en même temps (ça ne marche pas avec C0, ni avec dérivable).

ça vient pas de schwartz ?

[invite9c9b9968]

ça vient pas de schwartz ?

ça n'a absolument rien à voir, le théorème de Schwarz (version à deux dimensions, mais cela s'étend sans dificultés en dim n pour des fonctions C^n) dit que si une fonction de est C^2, alors on a :