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Classe d'une fonction



  1. #1
    Antikhippe

    Classe d'une fonction


    ------

    Salut,

    Ca veut dire quoi qu'une fonction est de classe sur |R ?

    Merci...

    -----

  2. #2
    matthias

    Re : Classe d'une fonction

    ça veut dire qu'elle est infiniment dérivable.
    C0 = continue
    C1 = dérivable de dérivée continue
    ...

  3. #3
    Antikhippe

    Re : Classe d'une fonction

    Ah OK !

    Merci matthias !

  4. #4
    Coincoin

    Re : Classe d'une fonction

    Salut,
    Une fonction est Cn, si elle est n fois dérivable et que sa dérivée nème est continue. Une fonction est si elle est Cn pour tout n.
    Encore une victoire de Canard !

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Antikhippe

    Re : Classe d'une fonction

    Citation Envoyé par Coincoin
    Une fonction est si elle est Cn pour tout n.
    Euh... je n'ai pas bien compris la fin...

  7. #6
    Colas

    Re : Classe d'une fonction

    Citation Envoyé par Antikhippe
    Euh... je n'ai pas bien compris la fin...
    Une fonction C^oo est indéfiniment dérivable, la définition de Coincoin était pourtant clair non ?

  8. #7
    Coincoin

    Re : Classe d'une fonction

    Une fonction C3, par exemple, est aussi forcément C2, C1 et C0... car la dérivabilité implique la continuité. Donc on appelle, une fonction qui est C1, C2, C3, ... , C12317315115318616, ...
    Encore une victoire de Canard !

  9. #8
    planck

    Re : Classe d'une fonction

    quelles sont les "applications" de la classe d'une fonction?

    je veux dire... à quoi ça sert, à part des renseignements sur la fonction?

  10. #9
    Coincoin

    Re : Classe d'une fonction

    C'est du vocabulaire, c'est tout... Ca permet de dire plus rapidement les choses.
    Encore une victoire de Canard !

  11. #10
    planck

    Re : Classe d'une fonction

    ah bon, d'accord...merci

    (j'aime bien ta reponse!!)

  12. #11
    Gwyddon

    Re : Classe d'une fonction

    Citation Envoyé par planck
    quelles sont les "applications" de la classe d'une fonction?

    je veux dire... à quoi ça sert, à part des renseignements sur la fonction?
    c'est déjà pas mal d'avoir des renseignements sur une fonction, ainsi on peut savoir quels théorèmes on peut lui appliquer
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  13. #12
    Antikhippe

    Re : Classe d'une fonction

    Citation Envoyé par Coincoin
    Une fonction C3, par exemple, est aussi forcément C2, C1 et C0... car la dérivabilité implique la continuité. Donc on appelle, une fonction qui est C1, C2, C3, ... , C12317315115318616, ...
    OKI ! Merci pour vos réponses !

  14. #13
    B3nJ4m1n

    Re : Classe d'une fonction

    Mais dans quels cas est-il nécessaire de savoir la classe d'une fonction?

  15. #14
    C.B.

    Re : Classe d'une fonction

    Citation Envoyé par B3nJ4m1n
    Mais dans quels cas est-il nécessaire de savoir la classe d'une fonction?
    Généralement, il n'est pas utile de connaître la classe d'une fonction.
    La classe d'une fonction sert pour ce qui est de sa dérivabilité (si tu as une fonction tu peux dériver n fois et obtenir une fonction continue).
    certains théorèmes ont besoin de la classe d'une fonction pour pouvoir conclure (connaître la classe permet alors d'avoir d'autres informations sur la fonction).

  16. #15
    Antikhippe

    Re : Classe d'une fonction

    Citation Envoyé par C.B.
    certains théorèmes ont besoin de la classe d'une fonction pour pouvoir conclure (connaître la classe permet alors d'avoir d'autres informations sur la fonction).
    Tu pourrais citer le nom de ces théorèmes, pour voir... ?

  17. #16
    matthias

    Re : Classe d'une fonction

    Bon, déjà, vous pouvez voir que la plupart des fonctions usuelles sont
    Maintenant un exemple classique d'utilisation de la classe d'une fonction :

    Formule de Taylor avec reste de Young:
    si f est Cn sur un intervalle I contenant , alors il existe une fonction telle que:

    et pour tout x dans I :

    ou bien sûr désigne la dérivée kième de f
    ça peut paraître barbare à première vue, mais ça permet déjà les développements limités.
    Vous pouvez essayer de voir ce que ça donne sur des fonctions polynomiales, ou d'autres fonctions dont vous savez calculer facilement les dérivées.

  18. #17
    C.B.

    Re : Classe d'une fonction

    Citation Envoyé par Antikhippe
    Tu pourrais citer le nom de ces théorèmes, pour voir... ?
    Des noms ? Hum de tête comme ça ?
    Il y a les différentes formules de taylor (dont une citée juste avant), le théorème de truc(1) qui dit qu'une fonction de deux variable C1 sur chacune de ses variable est C1 par rapport aux deux en même temps (ça ne marche pas avec C0, ni avec dérivable).

    Il y a aussi certains théorèmes de géométrie différentielle (mais là je ne saurais pas les citer)

    De mémoire, la formule de Parseval doit avoir une condition de classe, et l'un des théorèmes de Dirichlet (sur les séries de Fourier) nécessite que la fonction soit continue et C1 par morceaux


    (1) ce n'est pas son vrai nom

  19. #18
    Gwyddon

    Re : Classe d'une fonction

    de même tous les théorèmes de dérivation et d'intégration (pour les convergences uniformes, les applications du théorème de Lebesgue, etc...) nécessitent la connaissance de la classe des fonctions étudiées
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  20. #19
    Antikhippe

    Re : Classe d'une fonction

    Je vois ce qui m'attend...

    Merci encore pour vos réponses !

  21. #20
    matthias

    Re : Classe d'une fonction

    juste au cas ou vous seriez motivés, je pense que la démonstration (par récurrence) de la formule de Taylor avec reste de Young est accessible pour des terminales (une fois qu'on a compris le rapport entre dérivabilité d'une fonction et la formule à l'ordre 1)
    c'est loin d'être une formule aussi terrible qu'elle en a l'air, et elle est d'une efficacité redoutable
    et un petit point qui peut paraître obscur à certains:

  22. #21
    Antikhippe

    Re : Classe d'une fonction

    Je vais essayer...

    Pour la base de la récurrence, je trouve f(X) = f(Xo), c'est ça ?

  23. #22
    matthias

    Re : Classe d'une fonction

    Citation Envoyé par Antikhippe
    JPour la base de la récurrence, je trouve f(X) = f(Xo), c'est ça ?
    Euh non, plutôt :
    avec la condition sur la fonction

    ce qui dit juste : f est continue en

  24. #23
    Antikhippe

    Re : Classe d'une fonction

    Oui, exact, j'ai omis la fonction epsilon...

  25. #24
    matthias

    Re : Classe d'une fonction

    mais laisse tomber, je me suis avancé un peu vite, c'est quand même chaud.
    Par contre tu peux facilement la montrer à l'ordre 0 et 1
    Ou sur les fonctions polynômiales ...

  26. #25
    Antikhippe

    Re : Classe d'une fonction

    Citation Envoyé par matthias
    c'est quand même chaud.
    En effet ! Je vais me contenter de le montrer jusqu'à n=1 !

  27. #26
    Romain BERTOUY

    Re : Classe d'une fonction

    Citation Envoyé par C.B.
    le théorème de truc(1) qui dit qu'une fonction de deux variable C1 sur chacune de ses variable est C1 par rapport aux deux en même temps (ça ne marche pas avec C0, ni avec dérivable).
    ça vient pas de schwartz ?
    Romain

  28. #27
    Gwyddon

    Re : Classe d'une fonction

    Citation Envoyé par Romain BERTOUY
    ça vient pas de schwartz ?
    ça n'a absolument rien à voir, le théorème de Schwarz (version à deux dimensions, mais cela s'étend sans dificultés en dim n pour des fonctions C^n) dit que si une fonction de est C^2, alors on a :
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

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