D'où viennent ces formules?

[invitefffb8ef1]

En math on nous démontre certaines propriétés et théorème, je pense par exemple aux solutions des équations différentielles du second ordre (celles dont sait résoudre), on procède souvent par récurrence pour ces démonstrations ou on montre une double inclusion. Mais je me demande comment on a fait pour trouver pour trouver tout ceci?? serait-ce l'intuition??
Par exemple y a t'il un autre moyen(que de montrer une double inclusion) de démontrer que les solution de l'équa diff y'=b(x)y sont de la forme k*exp(B(x)) avec b continue et B une primitive de b et k un réel.
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[invitee089f46f]

Tu n'as pas un autre exemple ?

Dans ce cas, c'est en quelque sorte un raisonnement par "analyse-synthèse" comme on dit parfois au lycée.

Analyse : Supposons qu'on ait telle que . Alors à condition de considérer que . Ensuite on intégre cette égalité. Ca donne donc , où est une constante et une primitive de . D'où le résultat en passant à l'exponentielle et en posant .

Synthèse : on vérifie que les fonctions de cette forme sont solutions.

Moralité : (à part les détails que j'ai omis) : notre seule "intuition" a été de remarquer qu'en transformant en , ça nous donne en intégrant.

[invited5b2473a]

De manière générale, tu te sers de ton intuition (même peu rigoureuse) pour conjecturer des résultats et ensuite tu utilises toute l'outillerie mathématique pour les démontrer.
Par exemple, quand tu cherches des limites d'intégrales, tu essayes de deviner la limite en bidouillant et ensuite tu le démontres rigoureusement.

[invitedb5bdc8a]

C'est sans doute un des points qui bloquent le plus les gens dans leur compréhension des mathématiques. La démonstration finale et rigoureuse n'a parfois rien à vvoir avec la démarche utilisée pour trouver la solution. Pour trouver la solution , tous les moyens sont bons. Après il faut ranger tout ça dans un ordre rigoureux, ce qui permet en quelque sorte de "valider" une idée.
C'est comme pour les petits jeux de labyrinthe quand on est petit, quel lapin aura la carotte ?
Le plus simple est de partir de l'autre bout et de remonter au lapin. Ensuite on peut prendre le bon lapin et atteindre la carotte: ça c'est la démonstration.
Il n'y a pas de 'truc' pour la démarche de recherche en math. Une longue pratique des démonstrations précédentes permet de développer un certaine forme d'intuition.
Si tu te poses ce genre de question, tu es sur la bonne voie.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee089f46f]

Oui on peut dire que l'une des différences entre les maths et la philosophie, c'est qu'en maths on met le brouillon à la poubelle.