Bonjour,
j'essaie de retrouver la démonstration de l'espérance de la loi normale et je reste bloquée.
Je sais que si X suit une loi normalealors E(X)=m.
Je passe par les intégrales et voici mon raisonnement:
j'effectue le changement de variable
A ce stade je décide d'utiliser la linéarité de l'intégrale:
ET on obtient:
Mon problème est: comment démontre-t-on que
(puisque je dois trouver E(X)=m)
Merci de votre aide.
Amanda
"Intégrale de Gauss"
Merci pour le nom, j'ai trouvé une démonstration.
Bonne journée.
Finalement je suis toujours coincée.
Tout d'abord l'intégrale que je cherche est
J'ai utilisé le même raisonnement que j'ai trouvé sur internet.
Alors je le décrit:
- j'ai encadré
- j'ai multiplié par n toute mon inégalité, et je suis passée à l'exponentielle
- j'ai intégré sur
- j'ai effectué les changements de variables
- j'ai tout simplifié et je trouve:
- je reconnait des intégrales de Wallis et je sais que
Et la je me perd, d'après le théorème des gendarmes, j'obtiens:
Et je n'ai donc pas la bonne solution.
Où se trouve mon erreur de raisonnement?
Amanda
je ne vois pas bien le lien entre l'intégrale que tu veux calculer et l'espérance de la loi normale, pour laquelle n'y a d'ailleurs aucun calcul à faire puisque la densité est manifestement une fonction paire.
Quand je fais le calcul de l'espérance avec les intégrale, je dois calculer
Lorsque je fais le calcul, je me retrouve avec
C'est pour ça que je cherchais ça valeur.
mais l'espérance c'est aux constantes près l'intégrale de y exp(-y^2), tu as oublié le "y". De toutes façons, comme je l'ai écrit plus haut, tu as juste à montrer la finitude de l'intégrale sur [0,infini), comme la fonction y exp(-y^2) est impaire l'intégrale est ipso facto nulle.
Non je n'ai pas oublié le "y" et cette intégrale n'est pas nulle sinon
l'espérance serait toujours égale à 0 ce qui n'est pas le cas.
en tout cas ça c'est faux de chez faux.Envoyé par Amanda83
Lorsque je fais le calcul, je me retrouve avec
Quelle est la valeur de:
Vous avez raison tous les deux me semble t il : Amanda cherche l'espérance dans le cas de la loi avec exp -(X-m/sigma)²/2
et Ambrosio parle du cas où m=0, dans ce cas l'espérance est bien nulle !
Sinon je ne vois pas ton problème Amanda, ton premier calcul me semble bon, et avec la bonne valeur de l'intégrale de Gauss tu trouves bien E(X)=m.
Pour calculer l'intégrale de Gauss, la méthode la plus rapide est celle qui consiste à la multiplier par elle même et passer en polaire.
J'essais de coller le plus possible au programme de BTS donc je préfère passer par l'encadrement.
Je trouve le bon résultat.
Merci
mais sinon, l'approche la plus rapide c'est de montrer que si X suit la loi N(mu,sigma) alors Y=(X-mu)/sigma suit la loi N(0,1). Il suffit de faire un changement de variable dans l'intégrale, d'ailleurs c'est celui que tu as fait. Donc tu es ramené à trouver l'espérance de la loi N(0,1), ce qui est trivial (parce que la loi est symétrique).
Mais on en revient au même problème en essayant de calculer la variance de la loi normale centrée réduite.
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