X^2 - 3 irréductible dans Z/pZ ?

[invite79b1cfe6]

Bonjour,
Je suis en train de travailler sur un tipe en arithmétique.
Une partie traite du critère de Lucas-Lehmer qui permet de déterminer si un nombre de Mersenne est premier ou non.
Mon problème concerne la démonstration de ce critère.

Soit p un entier premier impair. On note F le corps Z/pZ
et A l'anneau F[racine de 3].
Si je comprends bien A est l'anneau tel que si x est un élément de A alors il existe y et z deux éléments de F tel que x=y+z*racine3.
Pour que cet ensemble soit effectivement un anneau et qu'il ait un intérêt pour la démonstration, j'en déduis que 3 n'est le carré d'aucun élément de F.

Je ne trouve pas cela vraiment évident à démontrer, ni pourquoi cela serait vrai. C'est peut-être évident mais je ne vois pas.

Voilà le lien du document sur lequel je travaille : http://perso.univ-lemans.fr/~dupont/Maths/Mersenne.pdf

Toute aide est la bienvenue. Merci beaucoup !
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Dans Z/1021Z, 3 est le carré de 32, et 1021 est un entier premier.

[Médiat]

Bonjour,
Ou encore, dans Z/13Z, 3 est le carré de 4.

[invite79b1cfe6]

Merci.

Peut-on quand même dire que A est un anneau ?
Je ne vois pas pourquoi car cela signifie qu'un même élément de A peut avoir deux écritures différentes.

Il me semble que la démonstration devient alors caduque, le fait que A est un anneau est utilisé pour développer une expression à l'aide du binome de Newton. Existe t'il d'autre structures dans lesquelles on peut appliquer le binome ?

Quelqu'un connait-il un peu ce critère de Lucas Lehmer sur les nombres de Mersenne ?
Si quelqu'un veut bien jeter un coup d'oeil à la page 2 du document pdf en lien, il s'agit de la démonstration en question, ce serait vraiment gentil. Il me paraîtrait étonnant que la démonstration ne soit pas valable. C'est un document édité par un professeur de l'université de Le Mans.

Merci encore !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Formellement, A_p est l'ensemble des avec et éléments de F_p et , d'où la notation .

Si 3 n'est pas carré dans F_p, alors l'écriture d'un élément de A_p est unique, alors que, si 3 est carré dans F_p, tout élément de élément de A_p=F_p admet plusieurs écritures sous la forme : ce problème d'unicité intervient-il dans la démonstration ? parce que, dans les deux cas, A_p est un anneau, et il me semble que est bien un morphisme d'anneau, mais je n'ai pas étudié les détails...

[invite79b1cfe6]

non l'unicité n'intervient pas. Mais le fait que cardA=p^2 est utilisé et si je ne me trompe pas cette égalité est vraie seulement si les décompositions sont uniques.
Exemple dans Z/13Z : 3 + 1*racine3 = 7+0*racine3. Je ne vois pas alors pourquoi cardA=p^2

[invite57a1e779]

S'il est important que A_p soit de cardinal p², cela peut vouloir dire que l'on définit A_p=F_pxF_p muni des lois de composition :


et il faut vérifier que l'on obtient bien un anneau.
Alors n'est qu'une notation pratique de .

[invite79b1cfe6]

Merci beaucoup !
Je vais chercher mais j'ai l'impression que ça marche plutôt bien !

[invite57a1e779]

Attention, lorsque 3 est carré modulo p, l'anneau A_p ainsi défini n'est pas intègre ; par exemple, dans A₁₃ :
(4,1).(4,12)=(0,0),
mais c'est peut-être sans importance.

[invite79b1cfe6]

Non je crois que c'est sans importance. Mais merci pour la remarque.

[invite57a1e779]

On peut remarquer que le A_p que je propose peut se voir comme le sous-ensemble de M₂(F_p) constitué des matrices de la forme :



et il est facile de voir que A_p ainsi défini est un sous-anneau (et même une sous-algèbre) de M₂(F_p).

Dans cette vision, désigne la matrice :