salut tout le monde, en traitant le cours des polynomes j'ai pas trop bien compris ce que c'est que un polynome irréductible
j'ai lu qu'un polynome irréductible est un polynome non constant mais c'est quoi 1 polynome non constant donnez moi un exemple svpp
Bonjour,
Intuitivement je dirais que c'est :
P(x) = c (c étant un réel fixé)
Ce polynôme ne dépend pas de x et est par conséquent constant. (On peut aussi dire que c'est un polynôme dont tous les degrés n>0 ont un coefficient nul par exemple P'(x) = 0x² + 0x + c)
Les polynômes constants sont les polynômes de degré 0 ouEnvoyé par waljamane
.
C'est un polynôme qu'on peut factoriser....
ex 2x+2 = 2 (x+1 ) pas irréduc.
ex x²+1 irréduct. dans R[X] ( ens. des poly de degré n , à coef dans R auquel on ajoute 0 qui n'a pas de degré )
Mais x²+1 est " réductible " dans C ensemble des complexes
car x²+1= (x+i)(x-i) ou i²= -1
ex x²-2x + 3 est irréductible dans R[X] on ne peut pas le factoriser mais réduc. dans C[X] car toute équation de degré n a n racines dans C ( C est algébriquement clos )
Pas un très bon exemple! Il est réductible dans Z[X], mais irréductible dans R[X]...
La notion de polynôme irréductible (ou mieux premier) est toujours "à un inversible près". Sinon, même dans Z[X] il n'y aurait aucun polynôme irréductible, par exemple X+1 = -1 * (-X-1).
Cordialement,
Dernière modification par invité576543 ; 12/12/2009 à 11h26.
Formellement : soit P un polynome de K[X]. P est toujours divisible par :
- les polynomes constants egaux a un element inversible de K (cad tout nombre non nul si K=R,Q ou C, 1 ou -1 si K=Z)
- les polynomes de la forme aP ou a est egalement un element inversible.
Un polynome non constant est dit irreductible si il n'a pas d'autres diviseurs que ceux de cette forme. C'est l'analogue des nombres premiers en arithmetique.
Dans C[X], les polynomes irreductibles sont exactement ceux de degré 1.
Dans R[X], les polynomes irreductibles sont ceux de degré 1, et ceux de degré 2 qui n'ont pas de racine réelle (cad dont le discriminant est strictement négatif).
Presque... Dans le cas Z[X] il faut ajouter les constants premiers pour avoir l'analogue... C'est un détail.
(Perso, je préfère irréductibles=premiers --cela diffère pour Z[X]. Mais je ne sais pas quel est l'usage. Ta définition n'est pas claire d'ailleurs pour le cas d'un constant.)
Cordialement,
Dernière modification par invité576543 ; 12/12/2009 à 14h01.
Bien sur, je voulais surtout donner une idée intuitive.
