polynomes

[waljamane]

SALUT A TOUS

Déterminer 2 réels a et b pour que le polynome P(X)=X⁷+aX⁶+bX⁵-X⁴+5X³-2X² soit divisible par Q(X)=X⁴-2X²+X
je n'ai pas compri quel méthode suivre pour résoudre cet exercice
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[invitebe0cd90e]

Salut,

Il suffit d'effectuer la division euclidienne de P par Q, puis de voir a quelles conditions sur a et b le reste est le polynome nul.

[invite64e915d8]

Bonjour,

As-tu essayé la division euclidienne ?

EDIT : devancé d'une minute par jobherzt xD

[waljamane]

merciii jobhertz et texanito
vous m'avez sauver la viie
au fait j'ai une autre question la voilaa:
P appartient à C[X], Soient a et b 2 nombre complexes, calculer le reste de la division de P par (X-a)(X-b) en fonction de P(a) et P(b)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebe0cd90e]

Tu sais qu'il existe (Q,R) tels que P=(X-a)(X-b)Q+R.

En utilisant cette egalité, que peux tu trouver comme relation entre P(a) et R(a) ? et entre P(b) et R(b) ?

Ensuite, utilises le fait que R est de degré au plus 1.

[waljamane]

P=(X-a)(X-b)Q+R.
P(a)=(a-a)(a-b)Q+R=R
p(b)=(b-a)(b-b)Q+R=R
donc la relation entre le reste de la division et P(a) et p(b) est :
P(a)=p(b)=R

c'est ça???

[God's Breath]

Petite erreur :

P(a) = (a-a)(a-b)Q(a) + R(a) = R(a)
P(b) = (b-a)(b-b)Q(b) + R(b) = R(b)

et R est de degré...

[invitebe0cd90e]

Attention, ca n'a pas de sens ce que tu ecris ! R est un polynome, et P(a) est un nombre, donc ecrire P(a)=R ca n'a pas de sens, sauf a la rigueur si R est constant..

Bref, tu n'as pas P(a)=(a-a)(a-b)Q+R, mais bien P(a)=(a-a)(a-b)Q(a)+R(a) !!

DOnc ce que tu peux en deduire c'est que P(a)=R(a), et P(b)=R(b), donc tout ce que tu peux dire c'est que R et P prenne la meme valeur en 2 points donnés, ensuite pour conclure il faut raisonner sur le degré de R !

[waljamane]

mais comment raisonner sur le degré de R ????

[God's Breath]

Il me semble que, dans la définition de la division euclidienne, il y a une condition sur le degré du reste.

[waljamane]

le degré du reste doit etre inferieur au degré de Q (P=GQ+R)
et???

[God's Breath]

Lorsqu'on divise par (X-a)(X-b), quelle est la condition sur le degré du reste ?