Analyse : racines et polynômes

[invite64e915d8]

Bonjour,

J'ai beaucoup de mal avec l'analyse, j'espère que quelqu'un pourra m'aider :

On suppose qu'il existe un polynôme P (de rang n) dont toutes les racines sont réelles et simples, démontrer que les racine de P' sont réelles et simples.

J'ai envie de démontrer que P' a racines mais il faudrait alors que je démontre que P' admet extremums locaux et bien que ça me paraisse évident je n'arrive pas à le démontrer
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[invité576543]

Théorème de Rolle.

Mais je ne sais pas si c'est parmi les outils auxquels tu as droit! Mais tu peux toujours étudier la démo de ce théorème et t'en inspirer.

Cordialement,

[invite57a1e779]

Utilise le théorème de Rolle pour relier les racines de P et celles de P'.

[invite64e915d8]

Oui je connais le théorème de Rolle.

D'après l'hypothèse de l'énoncé, P s'annule n fois. D'après le théorème de Rolle, il existe réels tels que P' s'annule.
Donc il existe n-1 racines de P'.
Or P' est par définition un polynôme de rang n-1 et admet donc au maximum n-1 racines (réelles ou complexes)
Donc toutes les racines de P' sont réelles et simples.

C'est bon ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

Oui je connais le théorème de Rolle.

D'après l'hypothèse de l'énoncé, P s'annule n fois. D'après le théorème de Rolle, il existe réels tels que P' s'annule.
Donc il existe n-1 racines de P'.
Or P' est par définition un polynôme de rang n-1 et admet donc au maximum n-1 racines (réelles ou complexes)
Donc toutes les racines de P' sont réelles et simples.

C'est bon ?

Presque parfait Une petite erreur de notation...

Cordialement,

[invite64e915d8]

Il existe n-1 réels tels que

C'est ça ?

[invitebe0cd90e]

Non, c'est un detail mais dans [0,n-1] il y a n entiers, et non n-1, il faut commencer a compter à partir de 1

[invite64e915d8]

Ah oui décidément, il n'y a pas qu'en informatique que le décompte à partir de 0 me pose problème

Merci encore !