Racines de complexes, racines carrées, racines n-ièmes et racines de l'unité...

[invite0c5534f5]

Salut,

Je suis en L1 et d'après ce que j'ai compris il n'est pas évident de transposer la fonction racine carrée (et plus généralement n-ième) aux complexes.
C'est pourquoi on a définit les racines carrées z d'un nombre complexe Z comme étant les solutions de Z=z²
Et ceci s'étend aux racines n-ième: les racines n-ième d'un nombre complexe Z sont les solution de

Bon admettons, jusque là ça va.

Et à ce qu'il parait un complexe admet 2 racines carrées opposées l'une de l'autre. Et que plus généralement un complexe admet n racines n-ième. Pourquoi?


Dans mon "cours" (un polycopié où rien n'est expliqué) on me parle des racines n ième de l'unité:
"L'équation admet exactement n solutions dans C, qui sont toutes de module 1 et que l'on apelle racines n ièmes de l'unité.
Soit
"
Pourquoi me parle-t-on de racines n-ième de l'unité puisque ça ne semble être qu'un cas particulier des racines n-ième ?
Pourquoi l'équation admet elle n solutions ?
Pourquoi les solutions sont celles indiquées ?

Ensuite on me dit que:
" est une solution de
"
De même: comment trouve t-on z₁?
Pourquoi toutes les solutions sont celles indiquées ?

Pour l'instant on va s'arrêter là, je continuerais avec les racines d'une équation du second degré à coefficient complexe quand toutes mes questions auront été résolues.(Je suppose que c'est bien de mon niveau que de savoir trouvé tout ça ou alors ce sont des résultats admis ?)

Merci pour votre aide.
-----

[invitec317278e]

Les racines n-ièmes de l'unité sont particulièrement étudiées au moins pour 2 raisons :
-certes, elles ne constituent qu'un cas particulier des racines n-ième, mais un cas particulier auquel on peut régulièrement se ramener.
-elles forment, algébriquement parlant, un groupe, qui est intéressant à étudier.

Pourquoi l'équation a n solutions ? Parce que dans C, tout polynôme de degré n possède n racines (ici, le polynôme est z^n -1).

Pourquoi les solutions sont celles indiquées ?
Parce qu'elles conviennent, si tu les réinjectes dans l'équation de départ !

Je taperai une esquisse de démonstration après mon repas.

[invitec317278e]

Soit l'équation .
On a de manière évidente que
On peut donc écrire
On a e^{i.n. \theta}=1 \equiv n. \theta = 2k \pi \equiv \theta = frac{2.k \pi}{n}
[/tex]
Ainsi, les solutions sont de la forme pour k entier naturel.
On peut ensuite montrer que si on se contente des k dans , on a toutes les solutions, car

[invitec317278e]

Soit l'équation .
On a de manière évidente que
On peut donc écrire
On a
Ainsi, les solutions sont de la forme pour k entier naturel.
On peut ensuite montrer que si on se contente des k dans , on a toutes les solutions, car

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0c5534f5]

Oui je le vois bien que ce sont les bonnes solutions. Mais comment les trouver ? Moi, en tant que L1, dois -être capable de démontrer les solutions ?

Et il y a un autre truc que je ne comprend pas: c'est qu'on défini un cas général (racines n-ième de Z) avec un cas particulier (racines n-ième de l'unité). Je trouve ça étrange.

Merci de ton aide j'attends les demos avec impatience.

Edit: tu as été plus rapide que moi, je lis ton post et je réponds après (si besoin).

[invitec317278e]

Pour le cas plus général, ce qu'il faut voir, c'est que quand on a l'équation , il suffit de diviser tout par pour pouvoir se ramener au cas précédent.


a la question "comment trouver z1 ?" de ton premier post, je réponds que comme j'ai fait dans ma démonstration tout à l'heure, on peut décider d'étudier le module de z, qui vaut forcément , et ensuite d'étudier l'argument de z, de manière similaire.

[invite0c5534f5]

Ok pour les racines n-ième de l'unité.
Mais pour les racines n-ième de Z ?

Edit: décidément, toujours plus rapide.