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Racines n-ième de l'unité



  1. #1
    Karine942

    Racines n-ième de l'unité

    Bonjour,

    Je cherche à calculer les racines n-ièmes de l'unité pour un nombre complexe. Or je ne sais pas comment faire, quelqu'un peut -il me donner une méthode générale pour faire cela?

    Merci d'avance
    Karine

    -----


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  3. #2
    GillesH38a

    Re : Racines n-ième de l'unité

    utilise la représentation polaire *et cherche à résoudre l'équation , sans oublier que theta est défini à 2pi près, ça devrait aller . Jete conseille aussi de représenter graphiquement les solutions dans le plan complexe pour les "visualiser".

  4. #3
    Karine942

    Re : Racines n-ième de l'unité

    ok ça je l'avais dans mon cours, on m'a dit que je pouvais écrire: z= exp((i theta pi)/n) est ce vrai dans tous les cas?

    et pour mettre à z^n=1 je fais comment qand j'ai par exemple:
    z^6= 4/(1+2i)

    Merci

  5. #4
    GuYem

    Re : Racines n-ième de l'unité

    Salut Karine, Gilles n'a pas trés bien compris ta question je crois.

    Disons que tu connais les racines de l'unité, ce sont les solutions de z^n=1. Il y en a n et elles s'écrivent avec k variant de 0 à n-1.

    Si maintenant tu veux résoudre, par exemple, , il te suffit de trouver UNE racine 6ième de 4/(1+2i). En effet, disons que j'en ai trouvé une, que j'appelle b. Alors ton équation se résouds comme suit :


    Posant y=z/b, ça se réécrit , que tu sais résoudre puisque tu connais les racines 6ièmes de 1 rappelées plus haut. Reviens en z et c'est fini.

    Moralité : si tu veux résoudre une équation du type z^n=truc, il te suffit d'UNE racine n-ième de truc pour avoir toutes les solutions.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  6. #5
    Karine942

    Re : Racines n-ième de l'unité

    Ok je comprends le sens de ton message maintenant la question qui me vient à l'esprit est:

    1) comment calculer la racine 6ème de 4/1+2i parce que tu l'appelles b mais je ne sais pas comment transformer ça en exp(2ikpi/n).

    Merci d'avance

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    invité576543
    Invité

    Re : Racines n-ième de l'unité

    Citation Envoyé par Karine942 Voir le message
    Ok je comprends le sens de ton message maintenant la question qui me vient à l'esprit est:

    1) comment calculer la racine 6ème de 4/1+2i parce que tu l'appelles b mais je ne sais pas comment transformer ça en exp(2ikpi/n).

    Merci d'avance
    Il n'y a aucune raison a priori qu'une racine 6ème de soit une racine sixième de l'unité! (Et d'ailleurs 16/5 <> 1 est une bonne raison pour le contraire...)

    Pour trouver une racine nième d'un nombre complexe, il faut d'abord le mettre sous forme polaire, , Gilles te l'as déjà écrit!

    Cordialement,

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  10. #7
    GillesH38a

    Re : Racines n-ième de l'unité

    effectivement je n'avais peut -être pas très bien compris la question mais peut être que Karine non plus . A la relecture "calculer les racines n-ièmes de l'unité pour un nombre complexe" ne veut rien dire, as-tu bien réalisé que "l'unité" veut dire simplement le nombre 1 ? je crois comprendre que tu veux simplement calculer les racines n-ièmes d'un nombre complexe (pas seulement de l'unité), c'est ça?

    dans ce cas c'est le même principe que je t'ai indiqué, tu as effectivement tout interêt à mettre ton nombre initial (par exemple 4/1+2i ) sous la forme polaire en cherchant son module et son argument.

  11. #8
    Karine942

    Re : Racines n-ième de l'unité

    En ait, je crois avoir mélangé deux expressions: calculer les racines n-ième et pour cela chercher zn=1 qui est la racine nième de l'unité.

    pour trouver ça il me suffit de mettre sous forme exponentielle?

    merci pour toutes vos reponses

  12. #9
    aude 0208

    Re : Racines n-ième de l'unité

    Bonjour
    personellement je cherche à calculer la somme des racines septièmes de l'unité c'est-à-dire 1+w2+w3+w4+w5+w6
    avec w=exp(2ipi/7)
    pouvez vous m'aider ?

  13. #10
    Seirios

    Re : Racines n-ième de l'unité

    Bonjour,

    Pense à utiliser l'expression donnant la somme des termes successifs d'une suite géométrique.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  14. #11
    invite986312212
    Invité

    Re : Racines n-ième de l'unité

    fais un dessin et tu auras la solution sans calcul.

  15. #12
    aude 0208

    Re : Racines n-ième de l'unité

    d'accord et merci beaucoup à tous les deux

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  17. #13
    aude 0208

    Re : Racines n-ième de l'unité

    comment peut-on prouver que 1 + 2cos(2pi/7) + 2cos(4pi/7) + 2cos(6pi/7) = 0 ?

  18. #14
    God's Breath

    Re : Racines n-ième de l'unité

    En exprimant les cosinus à l'aide d'exponentielles complexes
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  19. #15
    aude 0208

    Re : Racines n-ième de l'unité

    oui j'ai essayer mais j'arrive à cl'expression suivante dont je ne sais trop koi faire : 1+exp(2ipi/7)+exp(-2ipi/7)+exp(4ipi/7)+exp(-4ipi/7)+exp(6ipi/7)+exp(-6ipi/7)=0

  20. #16
    God's Breath

    Re : Racines n-ième de l'unité

    On reconnait au premier membre la somme .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  21. #17
    aude 0208

    Re : Racines n-ième de l'unité

    d'accord et exp(-2ipi/7) est-il égale à -w par exemple ?

  22. #18
    God's Breath

    Re : Racines n-ième de l'unité

    Dans le message #9 : .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  23. Publicité
  24. #19
    aude 0208

    Re : Racines n-ième de l'unité

    oui d'accord mais je ne comprend toujoyrs pas comment résoudre cette équation

  25. #20
    Thorin

    Re : Racines n-ième de l'unité

    Tu as déjà montré que cette somme était égale à 0 !
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  26. #21
    aude 0208

    Re : Racines n-ième de l'unité

    d'accord mais je ne vois tjs pas comment résoudre cette équation

  27. #22
    aude 0208

    Re : Racines n-ième de l'unité

    non je n'est pas réussi
    j'arrive à une expression du type (w^7-1)/(w-1) et je ne sais pas comment réduire cette expression

  28. #23
    Thorin

    Re : Racines n-ième de l'unité

    à quoi est égal w^7, exactement ?
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

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