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??? Racine n-ième de l'unité ???



  1. #1
    Gucci-style

    ??? Racine n-ième de l'unité ???


    ------

    Bonsoir à tous, voilà dans un de mes exos, j'ai :

    soit z une racine 6-ième de l'unité différente de 1.

    Cette information provenant de l'énoncé, je ne la comprend pas du tout. Pour moi cela veut dire z^6 = 1 mais je sais plus trop maintenant vu que cette donnée essentielle de l'exo je n'arrive pas à m'en servir pour résoudre l'équation qui m'est donnée.

    Merci d'avance pour votre aide car là je sais plus trop vers quoi m'orienter.

    -----

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  3. #2
    chris111

    Re : ??? Racine n-ième de l'unité ???

    Ben oui, la racine 6ieme de l'unité verifie z^6=1. Dans C, ca doit donner z=e^(i*k*pi/3) avec k entier variant de 1 à 5.
    k=0 étant exclu d'après ton enoncé.

    Va falloir que je regarde comment marche latex
    Patient est le pompier, car il commence à chaque fois en bas de l'échelle

  4. #3
    Gucci-style

    Re : ??? Racine n-ième de l'unité ???

    En faite ce que je ne comprenais pas c'est que c'est la première fois qu'on me sort unité différente de 1 et c'est là que je bloquais... je vais essayer de voir si je peux résoudre l'équation

  5. #4
    Coincoin

    Re : ??? Racine n-ième de l'unité ???

    Salut,
    C'est la racine qui est différente, pas l'unité.
    Encore une victoire de Canard !

  6. #5
    GuYem

    Re : ??? Racine n-ième de l'unité ???

    Citation Envoyé par Coincoin Voir le message
    Salut,
    C'est la racine qui est différente, pas l'unité.
    +1, des fois on peut se perdre dans les adjectifs. "Différente de 1" se rapporte à "racine de l'unité", et non pas à "unité" tout seul.

    C'est vrai qu'une unité différente de 1 ...
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    verdy_p

    Arrow Re : ??? Racine n-ième de l'unité ???

    Citation Envoyé par Gucci-style Voir le message
    Bonsoir à tous, voilà dans un de mes exos, j'ai :

    soit z une racine 6-ième de l'unité différente de 1.

    Cette information provenant de l'énoncé, je ne la comprend pas du tout. Pour moi cela veut dire z^6 = 1 mais je sais plus trop maintenant vu que cette donnée essentielle de l'exo je n'arrive pas à m'en servir pour résoudre l'équation qui m'est donnée.

    Merci d'avance pour votre aide car là je sais plus trop vers quoi m'orienter.
    Par exemple, dans l'espace des complexes:

    z_k = e^(i.pi.k/3), où k varie de 0 à 5: ce sont six racines sixièmes de l'unité, dont z_0=1.

    ou encore:
    z_k = cos(pi.k/3) + i.sin(pi.k/3)

    Tu as donc cinq racines z_1 à z_5 qui correspondent à la définition (si l'ensemble est celui des complexes.)

    Note bien que z_3 = -1 est une telle racine sixième de l'unité différente de 1:
    (-1)^6 = 1

    Imagine l'hexagone équilatéral inscrit sur le cercle unité des complexes, et dont un sommet est en 1.
    Dernière modification par verdy_p ; 09/09/2006 à 18h15.

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  10. #7
    verdy_p

    Re : ??? Racine n-ième de l'unité ???

    Notes aussi que les 4 autres racines sont obtenues par les conjugués et opposés de la racine z_1.

    Pour ton exo tu peux exploiter cela pour éviter d'avoir à démontrer une propriété 4 fois pour chacun de ces 4 termes (en exploitant les propriétés des opposés et des conjugués). Il te reste alors à démontrer la propriété pour la racine réelle -1.

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