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Relation de Binet [Suite de Fibonacci]



  1. #1
    Makka

    Relation de Binet [Suite de Fibonacci]


    ------

    Bonjour, je dois démontrer par récurrence la relation de Binet qui dit que pour tout n enitier naturel, on a Fn = 1/√5 (φn - φ' n)

    Fn tel que F0=0, F1=1
    quel que soit n entier naturel, Fn+2=Fn+Fn+1

    où phi est le nb d'or (1-√5)/2 et φ' = (1-√5)/2

    J'aimerais une piste, car tout ce que je tente n'aboutie à rien

    Merci de votre aide

    -----
    Y'a d'la joie...

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  3. #2
    Jeanpaul

    Re : Relation de Binet [Suite de Fibonacci]

    Une petite récurrence, non ?
    En n'oubliant pas que les nombres d'or sont solutions d'une certaine équation du 2ème degré (que tu peux retrouver facilement connaissant leur somme et leur produit).

  4. #3
    invité576543
    Invité

    Re : Relation de Binet [Suite de Fibonacci]

    Citation Envoyé par Makka Voir le message
    Bonjour, je dois démontrer par récurrence la relation de Binet qui dit que pour tout n enitier naturel, on a Fn = 1/√5 (φn - φ' n)

    Fn tel que F0=0, F1=1
    quel que soit n entier naturel, Fn+2=Fn+Fn+1

    où phi est le nb d'or (1-√5)/2 et φ' = (1-√5)/2
    Bonjour,

    Il y a une petite erreur sur l'expression de φ...

    Connais-tu la relation entre φ et φ' ? Et l'expression de φ² ?

    Sinon, c'est quoi une récurrence?

    La seule difficulté que j'imagine, autre que calculatoire, est que le début de la récurrence demande deux crans, mais après c'est classique...

    Cordialement,

  5. #4
    GuYem

    Re : Relation de Binet [Suite de Fibonacci]

    Une récurrence doit marcher en effet.

    On doit pouvoir signaler au moins deux autres méthodes pour lesquelles il n'y a pas besoin de connaitre le résultat pour le démontrer :
    -Ecrire matriciellement la relation de récurrence et faire un peu de réduction d'endomorphisme.
    -Considérer la somme de la série entière , trouver une équation différentielle qu'elle vérifie, la résoudre et conclure.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    invité576543
    Invité

    Re : Relation de Binet [Suite de Fibonacci]

    C'est pas le sujet (qui est d'aider pour l'exo!),

    mais à mon idée la méthode la plus simple (avec quelques outils, quand même) est de montrer que l'ensemble des suites respectant l'égalité de Fibonacci est un espace vectoriel de dimension 2 sur R, puis que φn et φ'n appartiennent à l'ensemble (trivial) et en sont une base (pas dur). Suffit alors de trouver les coefficients de la suite usuelle à partir des deux premiers termes (pas dur non plus), ou simplement montrer que l'expression proposée coincide sur les deux premiers termes (simple).

    Ca peut paraître compliqué, mais chaque étape est simple, et surtout ça permet de gérer tous les cas, genre suite démarrant par 2 1, ou autre.

    Mais cela est peut-être équivalent à une des approches mentionnées par Guyem

    Cordialement,

  8. #6
    Makka

    Re : Relation de Binet [Suite de Fibonacci]

    en effet, une faute dans l'expression de phi... au temps pour moi.

    Je dois le faire par récurrence, le problème c'est que je n'y arrive pas, je ne vois pas comment faire...
    je remplace Fn et Fn+1 par l'hypothèse de récurrence, ms je n'arrive pas à retomber sur mes pattes ensuite...
    Y'a d'la joie...

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  10. #7
    invité576543
    Invité

    Re : Relation de Binet [Suite de Fibonacci]

    Citation Envoyé par Makka Voir le message
    en effet, une faute dans l'expression de phi... au temps pour moi.

    Je dois le faire par récurrence, le problème c'est que je n'y arrive pas, je ne vois pas comment faire...
    je remplace Fn et Fn+1 par l'hypothèse de récurrence, ms je n'arrive pas à retomber sur mes pattes ensuite...
    Mets dans un message la formule que tu obtiens...

    Cdlt,

  11. #8
    Makka

    Re : Relation de Binet [Suite de Fibonacci]

    J'ai Fn+2= 1/√5 ( φn- φ' n - φ' n+1 + φn+1 )

    je devrais avoir Fn+2 = 1/√5 ( φn+2- φ' n+2)
    Y'a d'la joie...

  12. #9
    invité576543
    Invité

    Re : Relation de Binet [Suite de Fibonacci]

    Citation Envoyé par Makka Voir le message
    J'ai Fn+2= 1/√5 ( φn- φ' n - φ' n+1 + φn+1 )

    je devrais avoir Fn+2 = 1/√5 ( φn+2- φ' n+2)
    En fait tu as presque fini si tu connais l'équation clé que respectent φ et φ'...

    Quelle propriétés connais-tu sur ces deux nombres?

    Cordialement,

  13. #10
    Makka

    Re : Relation de Binet [Suite de Fibonacci]

    je sais que φ* φ' = -1
    φ+φ'=1
    et que φ et φ' sont solution de x²-x-1=0
    φ-1 = 1/φ
    φ' = -1/φ
    Y'a d'la joie...

  14. #11
    invité576543
    Invité

    Re : Relation de Binet [Suite de Fibonacci]

    Citation Envoyé par Makka Voir le message
    et que φ et φ' sont solution de x²-x-1=0
    Exploites cela, pars de l'expression finale en puissance n+2

  15. #12
    Makka

    Re : Relation de Binet [Suite de Fibonacci]

    je pars de l'expression en n+2 pour arriver à celle en n et n+1?
    Y'a d'la joie...

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  17. #13
    invité576543
    Invité

    Re : Relation de Binet [Suite de Fibonacci]

    Citation Envoyé par Makka Voir le message
    je pars de l'expression en n+2 pour arriver à celle en n et n+1?
    Oui. Ca marche dans les deux sens, évidemment, mais je pense que c'est plus facile à voir dans ce sens là.

  18. #14
    Makka

    Re : Relation de Binet [Suite de Fibonacci]

    je sais pas si je suis stupide, mais je vois pas du tout ce que tu cherches à me faire faire avec l'équation
    Y'a d'la joie...

  19. #15
    invité576543
    Invité

    Re : Relation de Binet [Suite de Fibonacci]

    L'équation te permet, par exemple, d'écrire φ² autrement. Et tu modifies φn+2 grâce à cela.

  20. #16
    Makka

    Re : Relation de Binet [Suite de Fibonacci]

    J'ai donc φn ( φ+1) - φ' n ( φ' +1) ?
    Y'a d'la joie...

  21. #17
    invité576543
    Invité

    Re : Relation de Binet [Suite de Fibonacci]

    Tu ne finis pas avec ça?

  22. #18
    Makka

    Re : Relation de Binet [Suite de Fibonacci]

    bah non, je devrais?
    Y'a d'la joie...

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  24. #19
    Gwyddon

    Re : Relation de Binet [Suite de Fibonacci]

    Oui

    En utilisant la relation entre et , plus la relation de récurrence (enfin bref.. tout ce que t'on dit les autres forumeurs) tu t'en sors.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  25. #20
    Makka

    Re : Relation de Binet [Suite de Fibonacci]


    je suis trop bête!
    il me suffisait de développer, je m'en suis même pas apperçue...
    J'ai honte
    veuillez me pardonnez...
    Merci beaucoup à tous!
    Y'a d'la joie...

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