Lemme d'Urysohn et partition de l'unité

[inviteab2b41c6]

Allo,
étant donné un compact, je peux toujours trouver un recouvrement (Vi) d'ouverts de K, et une partition de l'unité subordonnée à Vi.
Je me demandais s'il existait un moyen de rendre cette partition de l'unité Cinfinie, par exemple en en prenant le produit de convolution par une fonction Cinfinie gentille.

Bref, puis je transformée mes fonctions continues en fonctions C infinies tout en gardant le résultat.
Je suis persuadé que oui, mais j'aimerai une confirmation svp.
D'avance merci.
Amicalement,
Quinto
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[invite2f4d9e53]

Bonjour,
tu peux effectivement prendre des fonctions C infinies à support dans l'ouvert Vi. La démonstration est assez délicate, mais utilises effectivement le produit de convolution.

[inviteab2b41c6]

Salut,
merci de ta réponse.
Je pense que ca permet de résoudre un autre problème que je me posais:
si j'ai une fonction continue à support compact dans mon Vi, je peux la transformer en fonction C infinie à support compact dans ce même Vi, non?
Pour celà il suffit encore une fois de convoluer avec la fonction "plate" dont on vient de parler.

Si je me pose toutes ces questions c'est que je dois montrer la convergence faible* dans Cc(U) d'une suite de mesure de Radon, qui ne sont rien d'autres que des laplacien au sens des distributions.
Je commence par montrer le résultat dans Cc^infini(U), et c'est ensuite que j'aimerai récupérer mes résultats. Notamment, je me ramène à mes résultats précédents, grace à ces fonctions.
Sujet intéressant
A+

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Je serai curieux de voir ton exercice.
Il me semble que si tu démontres le résultat contre des fonctions lisses à support compact, tu auras ton résultat, à condition de montrer que tes mesures de Radon sont dans un borné (au sens norme des mesures totales). En effet, si tu as ça, il te suffit de dire que les fonctions régulières sont denses, et en coupant les epsilon en petit bout, ça marche.
Pour montrer la densité des fonctions régulières, tu prends un noyau de convolution lisse, et tu vérifies que la suite convolée tend vers ta fonction continue initiale au sens des fonctions continues, c'est-à-dire avec la norme L infinie. Une référence si tu veux : Brézis, Analyse fonctionnelle.

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rvz

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteab2b41c6]

Une référence si tu veux : Brézis, Analyse fonctionnelle.

Salut,
merci, je vais voir ca.
A+