Polynome dérivé

[citron_21]

Bonjour,
en faisant un exercice, je suis arrivé à un problème de méthode.

On a un polynôme : P(X)=(X-x1)(X-x2)(...)(X-xn)
et son polynôme dérivé P'(X).

Il faut vérifier que, ∀j∈[1,n], l'expression : Pj(X)=P(X) / ((X-xj).P'(xj)) est un polynôme.
Mon problème est que je n'arrive jamais à mettre un polynôme dérivé sous la forme d'un produit (ce qui laisserait apparaitre ses racines). Tout ce que je sais ici, c'est que les racines de P ne sont pas racines de P', car a priori elles ne sont que racines simples de P...

Donc je n'arrive pas à simplifier cette expression pour faire partir les 2 facteurs au dénominateur

merci de toute aide !
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[Thorin]

L'un des facteurs au dénominateur, P'(xj), est une simple constante, donc rien à foutre d'elle, le seul truc qui compte est qu'elle ne soit pas égale à 0.
L'autre facteur...bah par définition, il divise P, donc on peut simplifier.

Donc je ne vois pas trop le problème, ou j'ai mal compris...

[citron_21]

ok, merci de ta réponse.
Donc si je reprend ce que tu as dis, (X-xj) doit être différent de 0.
Donc le polynome obtenu, sera valable pour tout x compris entre 1 et n, mais différent de j ?

[Thorin]

Un polynôme n'est pas "valable pour des x", c'est la fonction polynômiale associée, qui l'est.

[A voir en vidéo sur Futura]

[citron_21]

lol oui ok je vois
merci a toi, bonne soirée !

[Thorin]

Pour détailler un peu les choses sur la nuance entre la fonction associée au polynôme et le polynôme :

Bon, déjà, à la base, ce dont tu disposes, c'est a priori une fraction rationnelle.
Par définition de l'égalité entre fractions rationnelles, (a/b=c/d <=> ad=bc), on montre que cette fraction rationnelle est égale au polynôme dont on se doute (et d'ailleurs, formellement, c'est comme ça qu'il faut rédiger si tu veux être rigoureux, il ne faut pas se contenter de dire qu'on simplifie par X-xj)).
Ensuite seulement, on peut parler de fonctions associées aux polynômes et aux fractions rationnelles :
Le point à se rappeler est que la fonction rationnelle associée à une fraction rationnelle n'est définie que quand la fraction est sous forme irréductible, ie quand elle est ici sous sa forme de polynôme.

Et dans ce cas, la fonction associée à la fraction rationnelle de départ est bien valable pour tout x, tout comme la fonction associée a polynôme.

Je dis ça en espérant que tu as aussi étudié les fractions rationnelles, mais si ce n'est pas le cas, tu n'es pas censé pouvoir vraiment faire cet exo