cos(13*Pi/12) et racines n-ièmes de nombres complexes

[invite5e34a2b4]

Voilà, j'ai un exo à faire à la maison qui dit ceci :
1) Calculer les racines quatrièmes de 1+i*(Racine 3)
2) En déduire les valeurs de cos (13*Pi/12) et sin (13*Pi/12).

Alors, j'ai calculé les racines quatrièmes de 1+i(racine3) = 2.e^i(Pi/3) en utilisant la formule apprise en cours et je trouve que les solutions sont (en posant A = 2^1/4 pour simplifier les écritures):

- z₀ = A.e^i(Pi/12)
- z₁ = A.e^i(7Pi/12)
- z₂ = A.e^i(13Pi/12)
- z₃ = A.e^i(19Pi/12)

Là où je bloque, c'est la question 2) : en déduire les valeurs de cos(13Pi/12) et sin(13Pi/12).
En effet, je sais calculer cos(13Pi/12) en remarquant que
13Pi/12 = 13*(Pi/12) = 13* (Pi/3 - Pi/4).

Mais, ce qui me dérange, c'est que l'exercice demande de déduire cos(13Pi/12) des réponses précédentes !! Or, là, je vois pas comment faire.
Je remarque que z3 = A*[cos(13Pi/12)+i*sin(13Pi/12)].
Donc, je pense que ceci doit être mon point de départ. Mais à partir de là, tout simplement je bloque.

Est-ce que vous voyez comment faire ? Est-ce que vous avez des pistes à me donner ? (ou même est-ce que l'énoncé est erroné?).

Merci d'avance.
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[invite4793db90]

Il est rigolo cet exercice!

[invite4793db90]

Pour déduire ( :confused: ) la valeur de et de la question 1), je crois qu'il faut effectivement partir de , écrire l'égalité et développer . En identifiant parties réelles et imaginaires j'obtiens un système d'équation non-linéaire mais résoluble. Ce n'est pas très élégant mais ça fonctionne...

Tu es dans quelle classe?