J'ai besoin de votre aide pour une petite question :
"divisibilité de :
(X+1)^(2n)-X^(2n)-2X-1 par (X+1)(2X+1)
nX^(n+1)-(n+1)X^(n)+1 par (X-1)²
X^(3n+2)+X^(3m+1)+X^(2p) par X²+X+1 "
et une autre question :
"Trouver le polynôme de degré aussi petit que possible dont le reste de la division enclidienne par
X^(4)-2X^(3)-2X²+10X-7 soit X^(3)+X+1
et X^(4)-2X^(3)-3X²+13X-10 soit 2X²-3 "
Merci beaucoup !!
Pour qu'un polynôme P(x) soit divisible par (x+1) (2x+1) il faut et il suffit que P(-1)=0 et P(-1/2)= 0
Pour qu'il soit divisible par (x-1)² il faut et il suffit que P(1)=0 et P'(1)=0
Quant au coup de la division euclidienne, le polynôme de plus bas degré est évidemment le reste lui-même avec un quotient =0. Curieuse question.
Merci beaucoup jeanpaul, mais pour la première question, tu utilise quelle propriété ? J'ai cherché mais je ne trouve pas.
Sinon, personne n'a d'idée pour le petit 3 de la première question ?
L'idée est que la division euclienne des polynômes engendre une équation du genre :
P(x) = Q(x).D(x) + R(x)
où le degré de R est strictement inférieur à celui de D (le diviseur)
Si le reste R(x) est identiquement nul, on voit bien que si a est une racine de D, a sera aussi une racine de P.
Pour le 3ème, c'est idem, les racines sont j et j²
