polynômes

[invite0f0e1321]

Bonjour, j'ai un pb avec l'exo suivant:
Soit n :in: :N: et soit A=(X+1)^{2n}-1 un polynôme de :R:[X]
1) Montrer que l'on peut écrire A=XB où B est un polynôme de :R:[X] dont on précisera le degré, le coefficient dominant et le terme constant qu'on notera b_0.
Voici ce que j'ai fait:

d'où
donc B est de degré n+n-1=2n-1, de coefficient dominant 1 (comment le justifier rigoureusement?) et de terme constant (comment le justifier?)
2) Déterminer les racines de A dans :C:. On appellera la racine nulle et on mettra les autres racines sous forme trigonométrique.
Je vois pas trop comment m'y prendre, la seule factorisation que j'arrive à faire est d'écrire A=BX comme fans la question 1, mais je ne peux pas en déduire les racines.
3) On pose . Montrer à l'aide d'un changement d'indice que . En déduire que si , alors
Lorsque je fais mon changement d'indice, j'arrive à :
. mais je n'arrive pas à trouver le résultat demandé
4) Calculer de deux façons . En déduire puis
Je ne vois pas comment faire

Merci d'avance pour votre aide
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[invitebb921944]

Pour ta question 3 si tu linéarises ton sinus tu arrives au bon résultat.

[invitebb921944]

Et il me semble que ça, c'est faux :


(ne serait-ce que pour n=1)

[invité576543]

Pour la question 1, tu te casses pas mal la tête... Si la question ne te demande pas de donner le polynôme B, c'est qu'il y a une manière plus simple de répondre aux différentes questions!

Pour la question 2, reviens à la forme de base et écris ce que cela veut dire, que z soit racine. J'imagine que tu connais les racines n-ième de l'unité, non?

Pour la question 3, il y a un autre changement d'indice, un peu moins évident que celui que tu as utilisé, qui donne le résultat tout de suite...

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3bc71fae]

Pour appuyer ce que dit mmy, un petit travail sur les racines possibles de A, notamment 0, réduit considérablement le travail... pour le 1.

[invite0f0e1321]

Merci beaucoup pour votre aide, ça y'est j'ai compris! pour la question 2, j'ai réussi et j'ai zk=2 sin (k pi/2n)exp(i(pi/2+kpi/2n))
j'ai réussi la question 3
mais je suis bloquée à la question 4:
Je calcule le produit une première fois en fonction de Qn: j'ai
C=2^(2n-1) Qn exp (i(pi/2+kpi/2n)(2n-1))
ensuite j'ai pensé que A=b0 (terme constant du poly B) puisque B=(X-z1)...(X-z2n-1) mais en fait il y a un signe moins devant puisqu'il y a un nombre impair de termes.
donc j'aurais, C=-2n
d'où -2n=2^(2n-1) Qn exp (i(pi/2+kpi/2n)(2n-1))
mais je n'arrive pas à simplifier pour obtenir une expression simple de Qn puis de Pn.
Merci d'avance