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polynômes



  1. #1
    yonyon

    polynômes


    ------

    Bonjour, j'ai un pb avec l'exo suivant:
    Soit n :in: :N: et soit A=(X+1)^{2n}-1 un polynôme de :R:[X]
    1) Montrer que l'on peut écrire A=XB où B est un polynôme de :R:[X] dont on précisera le degré, le coefficient dominant et le terme constant qu'on notera b_0.
    Voici ce que j'ai fait:

    d'où
    donc B est de degré n+n-1=2n-1, de coefficient dominant 1 (comment le justifier rigoureusement?) et de terme constant (comment le justifier?)
    2) Déterminer les racines de A dans :C:. On appellera la racine nulle et on mettra les autres racines sous forme trigonométrique.
    Je vois pas trop comment m'y prendre, la seule factorisation que j'arrive à faire est d'écrire A=BX comme fans la question 1, mais je ne peux pas en déduire les racines.
    3) On pose . Montrer à l'aide d'un changement d'indice que . En déduire que si , alors
    Lorsque je fais mon changement d'indice, j'arrive à :
    . mais je n'arrive pas à trouver le résultat demandé
    4) Calculer de deux façons . En déduire puis
    Je ne vois pas comment faire

    Merci d'avance pour votre aide

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    invite43219988

    Re : polynômes

    Pour ta question 3 si tu linéarises ton sinus tu arrives au bon résultat.

  4. #3
    invite43219988

    Re : polynômes

    Et il me semble que ça, c'est faux :


    (ne serait-ce que pour n=1)
    Dernière modification par invite43219988 ; 20/12/2005 à 14h26.

  5. #4
    invité576543
    Invité

    Re : polynômes

    Pour la question 1, tu te casses pas mal la tête... Si la question ne te demande pas de donner le polynôme B, c'est qu'il y a une manière plus simple de répondre aux différentes questions!

    Pour la question 2, reviens à la forme de base et écris ce que cela veut dire, que z soit racine. J'imagine que tu connais les racines n-ième de l'unité, non?

    Pour la question 3, il y a un autre changement d'indice, un peu moins évident que celui que tu as utilisé, qui donne le résultat tout de suite...

    Cordialement,

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    doryphore

    Smile Re : polynômes

    Pour appuyer ce que dit mmy, un petit travail sur les racines possibles de A, notamment 0, réduit considérablement le travail... pour le 1.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  8. #6
    yonyon

    Re : polynômes

    Merci beaucoup pour votre aide, ça y'est j'ai compris! pour la question 2, j'ai réussi et j'ai zk=2 sin (k pi/2n)exp(i(pi/2+kpi/2n))
    j'ai réussi la question 3
    mais je suis bloquée à la question 4:
    Je calcule le produit une première fois en fonction de Qn: j'ai
    C=2^(2n-1) Qn exp (i(pi/2+kpi/2n)(2n-1))
    ensuite j'ai pensé que A=b0 (terme constant du poly B) puisque B=(X-z1)...(X-z2n-1) mais en fait il y a un signe moins devant puisqu'il y a un nombre impair de termes.
    donc j'aurais, C=-2n
    d'où -2n=2^(2n-1) Qn exp (i(pi/2+kpi/2n)(2n-1))
    mais je n'arrive pas à simplifier pour obtenir une expression simple de Qn puis de Pn.
    Merci d'avance

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