Polynomes

[invite71a6f1bd]

Bonjour a vous tous.

Voila en fait j'ai 2 questions.

La 1ere est la suivante:
Soit P€C[X] de degres 3 et vérifiant:
P(X).P(-X)+P(X²)=0
J'ai essayé d'ecrire P(X) de la forme aX^3+bX²+cX+d
ca me donne:
-P(X).P(-X) = a²X^6+(2ac-b²)X^4+(c²-2bd)X²=P(X²)
Ce qui me donne un systeme...
Mais dans la question suivante on me donne un exemple, et ca ne correspond pas avec ce que je trouve...
Je pense donc que je suis partie sur la mauvaise piste.
La 1ere chose qui me vient a l'esprit ce serait de parler de parité vu -P(X).P(X)=P(X²)
Mais je sais pas vraiment si c'est correct comme idée...Surtout que je vois pas le rapport



Ma deuxieme question concerne une colle que j'ai eu ce midi.On me demande de determiner n un entier naturel, n>1, tel que (X-1)^n - (X^n - 1) ait une racine double

Je pose R la racine double.
J'ai donc P(R)=0 et
P'(R) = n(R-1)^(n-1) - nR^(n-1) = 0
J'en deduis R^n=R(R-1)^(n-1)

Je remplace ca dans P(R)
Ce qui me donne R^(n-1)=1

C'est la que je ne comprend pas... Mon colleur m'a dit, que donc j'avais |R|=|R-1|=1 (module)
Je ne comprend pas comment il trouve ca...Désolé si c'est une question bete hein

Merci beaucoup
-----

[invitec053041c]

si quelque chose (R) à une certaine puissance vaut 1 dans le monde réel, t'as de grandes chances que
soit R=1 ou R=-1 (pour le cas n-1 pair)
soit n-1=0
soit les 2, mais je ne vois pas le rapport avec |R-1|=1 ?
Tu es dans C[X] ou R[X] ?

[inviteae1ed006]

Bonsoir,
donc
et donc et

[invitec053041c]

j'ai la correction de cet exo dans un de mes bouquins, ils parlent aussi de |a+1| ^^,

donc ils disent, a^(n-1)=1 donc |a|=1 ok
mais t'as aussi la relation (a+1)^(n-1)=a^(n-1) d'où le |a+1|=1
donc tu en déduis assez facilement que a=j ou a=j²
et après tu substitues etc etc...assez lourd comme exo!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

ah non pas exactement le même exo, moi avec des + toi avec des -
mais bon c'est le même combat, tu trouveras pas j forcément ^^

[invite71a6f1bd]

Je suis dans C[X]
Merci Tize pour cette explication c'est desuite plus clair

Et j'ai pas envie d'abuser de votre aide, mais vous n'avez pas d'idée pour ma premiere question? J'demande pas un resultat, mais juste de comprendre comment le trouver (Ca m'aiderai bcp pour continuer mon Dm :s)

[invite71a6f1bd]

ah non pas exactement le même exo, moi avec des + toi avec des -
mais bon c'est le même combat, tu trouveras pas j forcément ^^

Merci Ledescat.
Bah en fait je trouve un cercle de centre 0 de rayon 1 (donc trigo)
Puis un cercle de centre 1 de rayon 1...l'intersection des 2 cercles me donne e^(iPi/3) et son conjugé.
mais effectivement c'est du kif kif au final, merci

[invite6b1e2c2e]

Et j'ai pas envie d'abuser de votre aide, mais vous n'avez pas d'idée pour ma premiere question? J'demande pas un resultat, mais juste de comprendre comment le trouver (Ca m'aiderai bcp pour continuer mon Dm :s)

Salut,

Si tu cherches un polynôme impair, alors forcément il ne possede que des degres impairs.
Par ailleurs,
P(X^2)= P(X)^2 a pas mal de solution, mais elles sont toutes explicites, en tout cas dans C.
A toi de les trouver.
__
rvz

[invite35452583]

J'ai donc P(R)=0 et
P'(R) = n(R-1)^(n-1) - nR^(n-1) = 0
J'en deduis R^n=R(R-1)^(n-1)

Partie en gras=>R^(n-1)=(R-1)¨(n-1) équation qui passe au module.
L'équation sus-nommée dit que R est sur la médiatrice des points d'affixe 0 et 1.
Ceci complète le fait que R est une racine de l'unité donc sur le cercle unité.
droite intersecté avec cercle=2 points.
Je ne vois pas en quoi c'est lourd.
Je trouve très légitimie la remarque du colleur.

1er exo
déjà on prend X=0 et on obtient P(0)=0 et un coeff en moins
ensuite on sort le coeff de plus grand degré on obtient en prenant la limite -a²+a=0 donc a=0 ou a=1 d'où a=1 s'il a bien été précisé que p est de dgré exactement égal à 3.
Idem avec formule/X² et limite en 0 c=0 ou 1.

Cordialement

[invite35452583]

ensuite on sort le coeff de plus grand degré on obtient en prenant la limite -a²+a=0 donc a=0 ou a=1 d'où a=1 s'il a bien été précisé que p est de dgré exactement égal à 3.
Idem avec formule/X² et limite en 0 c=0 ou 1.

Pourquoi je prends des limites ?

[invite6b1e2c2e]

P(X^2)= P(X)^2 a pas mal de solution, mais elles sont toutes explicites, en tout cas dans C.
A toi de les trouver.
__
rvz

Une fois n'est pas coutume, je m'autocite. Je pensais que cet exo était facile, mais ce n'est pas vraiment le cas (après un petit doute, j'ai vérifié et ma preuve n'est pas des plus simples).
Je donne donc une indication sur ma preuve, d'autres pouvant certainement proposer des améliorations.
1/ Vérifier que P(X) = X^n est solution de P(x)^2 = P(x^2).
2/ On suppose désormais que P(X) est un polynôme satisfaisant P(X)^2 = P(X^2) ne s'annulant pas en 0 (et notamment non nul). (On peut toujours s'y ramener en divisant P par la bonne puissance de X^n).
a/ Montrer que la seule racine possible de P est 1.
b/ Montrer que M = Sup { |P(x)|, pour x de module 1} vaut forcément 1.
c/ En deduire que |P(1)| = 1.
d/ En déduire que P n'a pas de racine.
Cela implique que P est constant égale à p. p^2 =p et le fait que P est supposé non nul implique alors que p=1.

Conclusion :
Les seules fonctions polynômiales vérifiant P(X^2) = P(X)^2 sont les fonctions monomes X^n.

__
rvz, pour une démonstration-exo un peu crade pour un truc qui semblait assez évident...

[invite35452583]

Soit P€C[X] de degres 3 et vérifiant:
P(X).P(-X)+P(X²)=0

Je savais bien qu'il y avait quelque chose d'""évident""
Il n'est demandé que des indices, ce qui est tout à ton honneur, soit :
a) si x est racine de P que peut-on dire de x² ?
b) quels sont les 3 seules racines possibles ?
c)Montrer que si Q divise P avec Q vérifie
Q(X)Q(-X)=+/-Q(X²) ($)
que peut-on dire de P/Q ?
La réciproque est-elle vraie ?
d) Montrer les même propriétés a) et b) pour l'équation P(X)P(-X)=-P(X²)
Quels sont les polynômes premiers vérifiant une des deux ($), conclure.

[invite35452583]

L'idée rejoint en partie celle de rvz, que je viens de relire, je crois néanmoins que ma méthode algébrique est plus simple. Pour le cas général de ces deux équations, montrer que P(0)=0 ou -1.
Il me semble que le problème est alors résolu pour tous les degrés.