élément premier et irréductible d´un anneau

[invitee75a2d43]

Bonjour je fais mes révisions d´algèbre et tout d´un coup je me perd dans un truc que je croyais acquis:

Dans un anneau commutatif intègre A, soit a un élément de A. je lis dans mon cours:

(1): Si a est premier, alors a est irréductible - La réciproque est fausse.

Soit (a) l´idéal engendré par a.

(2): a est irréductible <=> (a) est maximal <=> A/(a) est un corps
(3): a est premier<=> (a) est premier<=> A/(a) est un intègre

Or si a est irréductible, A/(a) est un corps, donc intègre, donc a est premier, ce qui contre dit (1)!!!!

Où me goure-je?

Merci d´avance

Christophe
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[invite4ef352d8]

Salut !

a est irréductible <=> (a) est maximal est faux.

enfin à moins qu'il y ai des hypothèse en plus sur l'anneau (par exemple, sur un anneau principale ca marche dans le sens ou sur un anneau principale ideal premier = ideal maximal et premier = irreductible)

[invitebe0cd90e]

Exact, en fait il me semble que la bonne propriété est : a irreductible <=> (a) est maximal parmi les ideaux principaux, ce qui ne veut pas dire qu'il est maximal tout court, sauf si A est principal (et dans ce cas integre <=> premier, donc ca colle).

[invitee75a2d43]

Ah d´accord, ça doit être ça mon erreur, je vais voir ça de plus près.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee75a2d43]

euh... J´ai oublié de dire merci