anneau de fractions dans l´anneau des polynômes complexes

[invitee75a2d43]

Bonjour,

J´ai un exo dont je crois avoir la solution, mais je suis très peu sûr de moi, j´aimerais donc m´assurer avoir compris la logique du truc. Il s´agit de la chose suivante: On appelle
S est la partie de A, ensemble des polynômes P tels que
S est multiplicativement stable, donc on peut définir l´anneau de fractions S^-1A.
Il s´agit de prouver que S^-1A est un anneau principal et que (X-1)S^-1A est son unique idéal maximal.

Ma méthode est la suivante: J´ai lu un théoréme comme quoi dans un anneau principal A, si S est une partie multiplicative de A alors S^-1A est soit principal, soit un corps.
Donc il ne me reste plus qu´à prouver que S^-1A n´est pas un corps. Pour cela, il me semble qu´il suffit de trouver un élément non nul de S^-1A qui ne soit pas inversible. Or soit P_i/S_i, un élément de S^-1A, c´est-à-dire que P_i est élément de A et S_i élément de S. Alors si de plus P_i n´est pas élément de S, alors P_i/S_i n´est pas inversible. Par exemple le polynôme P = (X-1)ⁿ avec n >0 est un élément non inversible de S^-1A. Est-ce correct?

Mais alors si c´est correct, on peut généraliser ce théorème me semble-t-il: Soit un anneau A, et son corps des fractions K(A), c´est-à-dire AxA* muni des addition et multiplication dans le corps des fractions. Il est connu que ce corps des fractions est le plus petit corps contenant A.
En reprenant le théorème, si A est principal, soit S une partie multiplicative de A, S^-1A est soit principal, soit un corps, donc en fait si S n´est pas A*, S^-1A est principal non? puisque de toutes façons, S est contenu dans A*.
Ou est-ce que je confond tout?

merci d´avance

Christophe
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[leon1789]

Ma méthode est la suivante: J´ai lu un théoréme comme quoi dans un anneau principal A, si S est une partie multiplicative de A alors S^-1A est soit principal, soit un corps.
Donc il ne me reste plus qu´à prouver que S^-1A n´est pas un corps. Pour cela, il me semble qu´il suffit de trouver un élément non nul de S^-1A qui ne soit pas inversible. Or soit P_i/S_i, un élément de S^-1A, c´est-à-dire que P_i est élément de A et S_i élément de S. Alors si de plus P_i n´est pas élément de S, alors P_i/S_i n´est pas inversible. Par exemple le polynôme P = (X-1)ⁿ avec n >0 est un élément non inversible de S^-1A. Est-ce correct?

oui !

Mais alors si c´est correct, on peut généraliser ce théorème me semble-t-il: Soit un anneau A, et son corps des fractions K(A), c´est-à-dire AxA* muni des addition et multiplication dans le corps des fractions. Il est connu que ce corps des fractions est le plus petit corps contenant A.
En reprenant le théorème, si A est principal, soit S une partie multiplicative de A, S^-1A est soit principal, soit un corps, donc en fait si S n´est pas A*, S^-1A est principal non? puisque de toutes façons, S est contenu dans A*.
Ou est-ce que je confond tout?

ah, tu ne confonds pas tout, mais cela n'est pas exact.

En posant S=N* , peux-tu identifier le localisé S^{-1} Z ?

[invitea6f35777]

Slt,

Je ne sais pas quelle est ta définition d'anneau principal mais pour moi un corps est un anneau principal (ses seuls idéaux sont les idéaux triviaux engendrés respectivement par 0 et par 1). A partir de là tu n'as pas à montrer que ce n'est pas un corps. Le théorème que tu cite dit que le quotient obtenu est toujours principal et éventuellement c'est un corps. Mais bien sûr tu dois le redémontrer sinon ya plus d'exo

[leon1789]

(...) Le théorème que tu cite dit que le quotient obtenu est toujours principal et éventuellement c'est un corps. Mais bien sûr tu dois le redémontrer sinon ya plus d'exo

Je suis d'accord.

Je ne sais pas quelle est ta définition d'anneau principal mais pour moi un corps est un anneau principal (ses seuls idéaux sont les idéaux triviaux engendrés respectivement par 0 et par 1). A partir de là tu n'as pas à montrer que ce n'est pas un corps. (...)

Les définitions sont toujours sujet à discussion : est-ce qu'un corps est un anneau de valuation, un anneau principal, un anneau de Dedekind, un anneau factoriel, ... En fait, j'ai l'impression que cela dépend de ce que l'on veut faire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb921944]

Les définitions sont toujours sujet à discussion : est-ce qu'un corps est un anneau de valuation, un anneau principal, un anneau de Dedekind, un anneau factoriel, ... En fait, j'ai l'impression que cela dépend de ce que l'on veut faire.

A ma connaissance, le seul point sur lequel tout le monde ne soit pas d'accord dans la définition d'un corps, c'est celui de la commutativité.
D'où la notion de "corps gauche".

[leon1789]

A ma connaissance, le seul point sur lequel tout le monde ne soit pas d'accord dans la définition d'un corps, c'est celui de la commutativité.
D'où la notion de "corps gauche".

Ok, c'est vrai, il faut préciser qu'ici, on se place en terrain commutatif.

Pour toi, un corps commutatif est-il un anneau de valuation ? principal ? de Dedekind ? factoriel ?
(personnellement, je réponds "oui" au quatre, mais je crois que ce n'est pas le cas de tout le monde)