Calcul d'un déterminant

[Seirios]

Bonjour à tous,

Je cherche à calculer le déterminant de la matrice suivante , avec .

J'ai essayé de remplacer par X dans la dernière colonne, pour obtenir une fraction rationnelle, mais le coefficient dominant du polynôme du numérateur revient à calculer un déterminant qui n'a pas l'air plus simple.

Quelqu'un aurait-il une idée ?

Merci d'avance,
Seirios
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[invite57a1e779]

Il s'agit d'un classique déterminant de Cauchy.

[invite9617f995]

Bonjour,

Il y a peut-être plus simple mais il y a une démonstration par récurrence qui marche.

Voici le début du raisonnement : multiplier chaque colonne par c_n+c_j, où j est l'indice de la colonne.

Ensuite, il faut faire quelques opérations sur les fractions, quelques manipulations usuelles avec le déterminant (combinaisons de ligne et de colonne et linéarité) et on se ramène à la matrice de même forme et d'ordre n-1.

Bonne chance,
Silk

[Seirios]

Merci à vous deux.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Vous ne sauriez pas non plus comment déterminer les valeurs propres d'une telle matrice par hasard ?