Calcul de déterminant

[MS.11]

Bonsoir,

j'ai un gros problème avec les déterminants... Ne vous moquez pas.

Je voudrais calculer le déterminant de la matrice 4*4

1 1 1 1
1 -1 1 1
1 1 -1 1
1 1 1 -1

Le problème c'est qu'en développant selon la première colonne en pensant à bien changer les signes quand il faut je trouve -8.
J'ai développé ensuite selon la première ligne pour vérifier : encore -8.

Le problème c'est que j'ai une propriété du cours qui me dit qu'une matrice dont eux colonnes sont identiques a un déterminant nul.

Un autre propriété du cours me dit que je ne change pas le déterminant en ajoutant à une colonne une combinanison linéaire des AUTRES colonnes.

donc en faisant C2' = C2+C3 et C3' = C3 + C2

j'obtiens

1 2 2 1
1 0 0 1
1 0 0 1
1 2 2 -1

ce qui m'amène à dire que le déterminant est nul...

Vous voyez le problème ?

Pourtant j'ai vérifié le développement en suivant ligne ou colonne. C'est désepérant. Qu'est ce que je préfère l'analyse :'(
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[KerLannais]

Salut

c'est qu'il faut faire les opérations sur les lignes et les colonnes successivement et non pas simultanément
si tu remplace C2<-C2+C3 tu obtiens

1 2 1 1
1 0 1 1
1 0-1 1
1 2 1-1

puis tu fais C3<-C2+C3 tu obtiens

1 2 3 1
1 0 1 1
1 0-1 1
1 2 3 -1

ce qui ne donne rien de particulier

rend toi compte que ton raisonnement (faux) permet de montrer que n'importe quel déterminant de taille au moins 2x2 est nul, tu remplace simultanément Ci<-Ci+Cj et Cj<-Ci+Cj alors forcément tu as deux colonnes égales à Ci+Cj

Je vais te décevoir mais l'analyse utilise énormément l'algèbre linéaire.

[sylvainc2]

Bonsoir,

donc en faisant C2' = C2+C3 et C3' = C3 + C2

j'obtiens

1 2 2 1
1 0 0 1
1 0 0 1
1 2 2 -1

Tu dois faire attention: quand tu fais C2' = C2 + C3 ca va, mais ensuite quand tu fais C3' = C3 + C2 tu ne dois pas utiliser la C2 originale, tu dois utiliser C2' que tu viens de modifier. Ces deux additions se font en 2 étapes séparées:

C2' = C2 + C3:
1 2 1 1
1 0 1 1
1 0 -1 1
1 2 1 -1

C3' = C3 + C2':
1 2 3 1
1 0 1 1
1 0 -1 1
1 2 3 -1

Le déterminant est bien -8.

[invite899aa2b3]

Bonjour.
On peut faire , et ce qui donne:

par développement selon la première colonne et linéairité par raopprt à celle-ci d'où le résultat.

[A voir en vidéo sur Futura]

[MS.11]

D'accooooooooooooooooooooord !

Merci beaucoup pour vos explications ! J'étais loin de me douter que les opérations sur les lignes ou colonnes ne pouvaient pas être faites en même temps...

Je me ralance dans mes calculs !