Densité de X+Y

[invite9bf5e42d]

Bonjour,
je bloque sur le problème suivant :
Soit X une variable aléatoire de loi N(0,1) indépendante de X de même loi.
La densité de Y et de Y est

Calculer la densité de X+Y :

J'ai posé
=1

Je ne vois pas comment écrire l'intégrale contenant le changement de variable.

Merci beaucoup pour votre aide.
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[invite0d9b859e]

Bonjour,

Soit X une variable aléatoire de loi N(0,1) indépendante de X de même loi.
La densité de Y et de Y est

Je ne suis pas sûr d'avoir bien compris ton énoncé: est-ce que tu veux dire que X et Y sont 2 variables aléatoires indépendantes de loi N(0,1)?

Dans ce cas, pose Z=X+Y.
X et Y étant indépendantes, tu as .
Tu cherches d'abord ta fonction de répartition:

A l'aide d'un dessin, tu peux voir que:
,

Une fois que tu as ta fonction de répartition, il ne reste plus qu'à dériver pour obtenir la densité.

Bon courage.