Bonsoir,
On definit l'espacedes fonctions mesurables de carré sommable dans
, où la dimension
. Et on dit que les fonctions mesurables sont définies presque partout dans
.
Une autre définition de l'espace, trouvé dans [Bony, Cours d'analyse, pp. 60]: c'est l’espace des classes de fonctions de carré sommable, pour la relation d'équivalence f=g presque partout.
Quelques questions, svp:
1. Soit, tel que
est continue et
est choisie tel que
sur
\
, donc sur
sauf sur un ensemble de mesure nulle, que j'ai appelé
. Est-ce que les valeur que
prend sur
doivent être finies ou pas, pour que ça reste une fonction
?
2. Est-ce que toutes les fonctionsdoivent être, ou sont bornés (par définition)? Avez-vous des exemples, contre-exemples ?
3. Soit, tel que
. Et soit une deuxième fonction qui elle sera définie également en zéro, soit
, sachant que
sauf en zéro, où on va la définir comme étant la limite d'une série qui tend vers l'infini (pour un
). Dans ce cas, les deux sont bien des fonctions
ou pas?
Merci.
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