espace L2 et fonctions définies presque partout: bornées ou pas?

[invite2e2f3fcd]

Bonsoir,

On definit l'espace des fonctions mesurables de carré sommable dans , où la dimension . Et on dit que les fonctions mesurables sont définies presque partout dans .

Une autre définition de l'espace , trouvé dans [Bony, Cours d'analyse, pp. 60]: c'est l’espace des classes de fonctions de carré sommable, pour la relation d'équivalence f=g presque partout.

Quelques questions, svp:

1. Soit , tel que est continue et est choisie tel que sur \, donc sur sauf sur un ensemble de mesure nulle, que j'ai appelé . Est-ce que les valeur que prend sur doivent être finies ou pas, pour que ça reste une fonction ?

2. Est-ce que toutes les fonctions doivent être, ou sont bornés (par définition)? Avez-vous des exemples, contre-exemples ?

3. Soit , tel que . Et soit une deuxième fonction qui elle sera définie également en zéro, soit , sachant que sauf en zéro, où on va la définir comme étant la limite d'une série qui tend vers l'infini (pour un ). Dans ce cas, les deux sont bien des fonctions ou pas?

Merci.
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[Tiky]

En général on note l'espace des fonctions mesurables de carré sommable sur et l'espace quotient obtenu avec la relation d'équivalence que tu as citée.

1. Oui absolument. Pourquoi voudrais-tu que ce soit autrement ?

2. Non toutes les fonctions de cet espace ne sont pas bornées et même elles ne sont pas essentiellement bornées.
C'est très facile de faire un contre-exemple. Il suffit de prendre une fonction de carré sommable, puis de modifier cette fonction sur un ensemble de mesure nulle (par exemple dénombrable) afin qu'elle ne soit pas pas bornée sur cet ensemble.

[inviteea028771]

1. Oui absolument. Pourquoi voudrais-tu que ce soit autrement ?

Je ne suis pas d'accord, un exemple simple pourrait être la fonction nulle partout sauf en 0 ou elle vaut +oo qui est bien dans

[Tiky]

Je ne suis pas d'accord, un exemple simple pourrait être la fonction nulle partout sauf en 0 ou elle vaut +oo qui est bien dans

http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_Lp
Elles sont à valeurs réelles ou complexes. L'infini n'est pas un réel. Je ne vois pas où j'ai faux.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea028771]

Erf... il me semblait que c'était a valeur dans R barre. Sinon effectivement la question n'a pas de sens

[invite2e2f3fcd]

1. Oui absolument. Pourquoi voudrais-tu que ce soit autrement ?

Je sais que , mais j'ai du mal a comprendre pourquoi, sachant qu'elle n'est pas définie en zéro. Ok, disons qu'il s'agit d'un ensemble de mesure nulle et on ne regarde pas ce qui se passe à l’intérieur, mais elle vaut comme même l'infini en ce point. De plus, la primitive de la fonction en zéro ne converge pas (ou bien la limite de l’intégrale quand on s'approche de ce zéro).

[Tiky]

converge. C'est une intégrale de Bertrand.

D'ailleurs on a :

Pour la fonction , il suffit de poser par exemple . Tu as bien

[Tiky]

Note j'ai fait une erreur de calcul énorme dans le poste précédent.
L'intégrale de 0 à 1 vaut 2 et celle de -1 à 1 vaut 4. Difficile d'imaginer l'intégrale d'une fonction positive qui soit négative.

[invite2e2f3fcd]

Note j'ai fait une erreur de calcul énorme dans le poste précédent.
L'intégrale de 0 à 1 vaut 2 et celle de -1 à 1 vaut 4. Difficile d'imaginer l'intégrale d'une fonction positive qui soit négative.

En effet, je vois maintenant. T'as également utilisé le résultat que la limite de quand de vaut zéro (règle de l’Hôpital).

Pour en finir, est-ce la conclusion suivante de toute notre discussion est vraie ou pas: "les fonctions de ne sont (en général) ni continues ni bornés ?"

Pour éviter le plagiat, je mentionne que j'ai sous les yeux cette phrase (qui m’inquiète), sauf qu'elle s'applique aux fonctions .

Merci.

[Tiky]

Oui ces fonctions peuvent être ni continues, ni bornées.