Espace de fonctions à variations bornées

[invitec5ea69e5]

Bonjour,

Quelqu'un pourrait m'expliquer qu'elles sont les fonctions que contient l'espace BV ?
Et pourquoi ce dernier est bien adapté au traitement d'images ?
On dit "qu'il autorise les discontinuités au long des contours" ce n'est pas clair pour moi, puisque l'espace L^2 aussi contient des fonctions discontinues,

Svp expliquez-moi un peu tout ça. Merci d'avance
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[invitec1ddcf27]

Salut,

bon je ne connais pas ton niveau mathématique et n'ai aucune connaissance en traitement des images. Ceci dit :

Pour un ouvert, l'espace est définit par



où je note l'espace des mesures de Radon bornées sur , c'est-à-dire l'espace des formes linéaires continues sur . Il est facile de voir que mais l'inclusion est stricte.

Alors, cette espace a un intérêt dans la résolution de certaines équations aux dérivées partielles. Par exemple, pour résoudre le problème variationnel

L'espace n'étant pas réflexif, la méthode variationnelle classique ne fonctionne pas.

C'est la qu'intervient l'espace : l'intérêt est que toute suite bornée dans cette espace converge faiblement à sous-suite près. De plus, il vérifie l'injection compacte
Avec ces propriétés, il est raisonnable d'étudier une suite minimisante pour le problème variationnel


A ce stade apparait un autre problème : l'application trace n'est pas faiblement continue sur . Ainsi, il faut introduire le problème relaxé

en remarquant que

par un théorème de densité. Maintenant, on est en mesure de fabriquer un minimiseur pour ce dernier problème variationnel. Et ce est en fait la première valeur propre de l'opérateur 1-laplacien.


Bref... A ma connaissance, l'interet essentiel de BV est de pouvoir traiter des EDP définie sur l'espace qui est non réfléxif. J'imagine qu'en traitement des images, on rencontre ce genre d'EDP.

Sinon, la référence sur les fonctions BV est le livre "Minimal Surfaces and Functions of Bounded Variation" d'Enrico Giusti.

PS : le problème variationnel sur lequel je t'ai donné quelques éléments a été résolu vers 2003/2004... c'est des mathématiques récentes !

[invitec1ddcf27]

Par exemple l'indicatrice d'une boule ouverte est dans BV, mais pas dans W^{1,1}.

Je me rend compte que je n'ai même pas définit les différentes convergences dans BV. On dit que u_n tend vers u dans BV
- faiblement si


- fortement si on a la convergence forte et la convergence étroite des mesures.


Oui et quand à la régularité sur le bord. Eh bien, la trace est dans , ca autorise pas mal de chose

[invitec5ea69e5]

je te remercie de m'avoir répondu, c'est plus clair maintenant

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