Tangente horizontale

[invite2dfa6342]

Bonjour,

la question que l'on me pose est la suivante:

f(t) = (x(t); y(t)) avec x(t)= t²+(2/t) et y(t)= t+(1/t)
Déterminer les points de la courbe admettant une tangente horizontale.

J'ai procédé de la sorte:
pour avoir une tangente horizontale il faut que y'(t)=0 et que x'(t) différent de 0.
1- (1/t²)=0 et je trouve t=1 ou t=-1 mais comme pour 2t - (2/t²)=0 je trouve t=1, il ne faut donc prendre que t=-1 (à t=-1 j'ai donc une tangente horizontale).

Or la question sous-entend qu'il y a plusieurs points admettant une tangente horizontale, alors j'en ai sans doute oublié? Comment m'y prendre?

Merci d'avance pour votre aide.
-----

[fiatlux]

Salut

ça m'a l'air correct, surtout que j'ai affiché la courbe avec Matlab (pièce jointe). La partie de gauche ça te montre une grande partie de la courbe (on voit le comportement qui devient linéaire) et la partie de droite j'ai zoomé près de 0, la droite rouge est en -1. Et on voit bien que le seul extremum local est en -1. A noter que je sais pas exactement comment Matlab gère les limites, notamment vers 0... Donc je ne garantis rien, mais ça a l'air correct. La discontinuité bizarre qu'on voit pour x=3 correspond justement pour t=1 (puisque 1²+2/1=3), la cas qui posait problème.

[fiatlux]

J'ai oublié de dire que pour t=1 (donc x=3 dans l'image) il y a une sorte de minimum local (donc en théorie un point à tangente horizontale) mais il n'est pas différentiable, donc si on te demande les extremums locaux à mon avis il y en a 2, si on te demande les points à tangente horizontale à mon avis il n'y en a qu'un (t=-1).

Sans garantie de ma part, je précise.

[invite2dfa6342]

J'ai demandé à un professeur de maths mais il m'a répondu en vitesse, il m'a dit d'étudier les autres dérivées (p>1) car je n'avais fait que le cas p=1 mais je ne vois pas comment faire et ce qu'il veut dire exactement.

Alors si quelqu'un voit comment faire, toute réponse est la bienvenue.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7265fdfc]

Bonjour,

au point t=-1 il n'y a pas de problème: x'(t)=-4 et y'(t)=0, donc tangente horizontale.
au point t=1, on a x'(t)=0 et y'(t)=0
on fait alors une étude locale:

1) on cherche p, premier indice de dérivation, tel que f dérivée p fois (t) différent de 0:

ici on trouve p=2 puisque:
x''(t)=2+4/t^3
y"(t)=2/t^3

et que x"(1)=6 et y"(1)=2

2) ensuite on cherche le premier indice q au-delà de p tel que f dérivée q fois (t) soit tel que f^p(1) et f^q(t) forment un système libre
je trouve f^3(1)=(-12;-6)
donc f^2(1) et f^3(1) forment un système libre
nous sommes dans le cas p=2; q=3 => point de rebroussement de première espèce , avec f^2(1)=(6;2) donc tangente pas horizontale, car c'est car la tangente est dirigée par f^2(1)
(point de rebroussement de première espèce: les 2 branches sont de part et d'autre de la tangente.

J'ai pu me tromper dans les calculs, mais gnuplot me semble confimer ...