Im(f) et Im(g)

[invite4cd74d23]

Salut à tous !

L'énoncé de l'exercice est :

soit f et g deux endomorphismes d'un Espace verctoriel E
Si gof = f Montrer que Im(f) ⊂ Im(g)

Alors j'ai fait comme ça !:

Soit Y ∈ Im(f) ⇔ ∃ x ∈ E tq Y = f(x)
Or f = gof ⇔ Y = g(f(x))
On pose f(x) = X
Alors Y = g(X) donc Y ∈ Im(g)
avec Im(g) = {Y/ f(x) ∈ E}

Est ce Correct ?
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[Tiky]

Bonsoir,

La seconde ligne est fausse. Tu n'as pas d'équivalent. signifie que pour tout , . C'est beaucoup plus fort que d'avoir simplement .

La démonstration est très simple.
On a et

[invite371ae0af]

il n'y pas l'équivalence à la seconde ligne

par hypothèse gof=f donc y=f(x)=g(f(x))
le reste est bon