Union finie de sous-spaces vectoriels

[invite80f7050f]

Bonjour,

Je sèche sur cet exercice : quelqu'un aurait il une idée ?

Ennoncé : "E est un sous-espace vectoriel réel. Que dire d'une famille finie i appartenant à [|1,p|] de sous-espaces de E dont l'union est un sous-espace de E ?"

Merci d'avance ! Je poursuis mes recherches de mon côté.
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[invite9ac7aecb]

Il y a sûrement un sous-espace qui contient tous les autres… on travaille en dimension finie?

[invite899aa2b3]

Bonjour,
commence par regarder le cas p=2. On sait que l'union est toujours un sous-espace vectoriel si on a que l'un des deux espaces est contenu dans l'autre. Que se passe-t-il si aucun n'est contenu dans l'autre ?

[invite80f7050f]

Ok, on peut raisonner par récurrence sur p. On peut supposer que n'est pas inclus dans l'union de i=1 à p-1 des et réciproquement. On construit alors une droite affine qui n'est pas incluse dans l'union de i=1 à p des .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite652ff6ae]

Belle intuition

[invite80f7050f]

Merci beaucoup !

a+