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Union de sous espaces vectoriel



  1. #1
    vince3001

    Union de sous espaces vectoriel

    Bonjour,
    Voici ce que je dois démontrer:
    "Soit F un espace vectoriel de dimension finie sur un corps K et G,H 2 sous espaces vectoriels.
    Montrer que l'union de G et H est un sous espace vectoriel ssi G inclu ds H ou H inclu ds G..."
    je ne sais pas trop comment faire, j'ai néanmoins essayé de démontrer la premiere implication en faisant un raisonnement par l'absurde :
    Supposons que l'union de G et H soit un sous espace vectoriel et que cela n'implique pas G inclu ds H ou H inclu ds G, alors il existe v appartenant à G et à H tel que v n'appartienne pas à G inter H. Mais que faire après...?
    Bref j'y arrive pas, merci de votre collaboration!

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    GogetaSS5

    Re : union de sous espaces vectoriel

    Dans le sens difficile.
    Suppose que H n'est pas inclus dans G et G n'est pas inclus dans H.

    Alors prend un vecteur x de H qui n'appartient pas a G et un vecteur y de G qui n'appartient pas à H. Intéresse toi au vecteur x+y.

  4. #3
    vince3001

    Re : union de sous espaces vectoriel

    Alors voici ma réponse en suivant ta piste (j'espère ne pas te faire tomber de ta chaise^^)
    "soit (h(1),h(2),...h(n))une base de H
    soit (g(1),g(2),...g(m))une base de G
    si x appartient à H alors x=Lambda(1)*h(1)+Lambda(2)*h(2 )+...+Lambda(n)*h(n) avec Lambda(i) différent de 0
    si y appartient à G alors
    y=alpha(1)*g(1)+alpha(2)*g(2)+ ...+alpha(m)*g(m) avec alpha(i) différent de 0
    d'où x+y=Lambda(1)*h(1)+Lambda(2)*h (2)+...+Lambda(n)*h(n)+alpha(1 )*g(1)+alpha(2)*g(2)+...+alpha (m)*g(m)
    or x+y appartient à GuH (car par hypothèse GuH ss esp vect de F)
    =>x+y est combinaison linéaire de h(1),h(2),...h(n)
    ou combinaison linéaire de g(1),g(2),...g(m)
    or ce n'est pas le cas =>contradiction
    Donc GuH ss esp vect de F => G inclu ds H ou Hinclu ds G"
    Qu'en penses(-ez)-tu(vous)?

  5. #4
    jobherzt

    Re : Union de sous espaces vectoriel

    Il y a des etapes que je ne comprends pas.

    Le "or ca n'est pas le cas par definition" me semble moyennement net Deja rien ne prouve que certain des lambda_i ne soient pas nuls. Ensuite, il est possible que certain h soit egaux a certain g...

    En fait tu n'as pas besoin de sortir une base. Si x+y appartient a , alors x+y appartient a G ou H (ou non exclusif a priori.)

    Supposons que x+y appartiennet a G. Comme x appartient aussi a G, (x+y)-x appartient a G (un e.v. est stable par soustraction). Je te laisse conclure

  6. #5
    vince3001

    Re : Union de sous espaces vectoriel

    (petite rectification:y appartient à G et x à H, ms peut importe...)
    =>x appartient à G=>contradiction
    idem si x+y appartient à H,alors (x+y)-x appartient à G =>y appartient à H =>contradiction
    ccl:GuH ss esp vect de F => G inclu ds H ou Hinclu ds G
    Merci beaucoup!

  7. A voir en vidéo sur Futura

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