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espaces vectoriel et applications linéaires



  1. #1
    OuTag

    espaces vectoriel et applications linéaires

    Bonjour, je cherche à démontrer une petite propriété de mon cours de mathématiques : " Si f est une application linéaire de E dans F alors Im(f) est un sous-espace vectoriel de F ".

    Voilà comment j'ai procédé :


    - Par définition, Im(f) = { f(x) / x appartient à E } donc Im(f) est inclus dans F.

    - Il est évident que Im(f) est non vide.

    - Soit (a,b) appartenant à (Im(f))², alors il existe c appartenant à E tel que a=f(c) et il existe d appartenant à E tel que b=f(d). On a donc :
    a+b=f(c)+f(d)
    =f(c+d) car f appartient à L(E,F)
    Or c et d appartiennent à E
    donc c+d appartient à E
    donc f(c+d) appartient à Im(f)
    donc a+b appartient à Im(f)
    donc on a montré la stabilité pour +.

    Soit l appartenant à K,soit a appartenant à Im(f).
    Alors il existe b appartenant à E tel que a=f(b).
    On a :
    l.a=l.f(b)
    =f(l.b) car f appartient à L(E,F)
    de plus, l.b appartient à E donc f(l.b) appartient à Im(f)
    donc l.a appartient à Im(f) donc on a montré la stabilité pour ..

    conclusion : Im(f) est un sous-espace vectoriel de F.



    Pouvez-vous me dire si cette démonstration est juste. S'il y a des erreurs, dites-les moi.

    Merci.

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    tize

    Re : espaces vectoriel et applications linéaires

    Bonjour,
    ba à moi, ça me parait correct...
    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José

  4. #3
    OuTag

    Re : espaces vectoriel et applications linéaires

    D'accord, merci.

  5. #4
    Gwyddon

    Re : espaces vectoriel et applications linéaires

    Pour être vraiment parfait, il faut que tu montres que 0 est bien dans Im(f). C'est évident je te l'accorde, mais il faut le dire
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  6. #5
    homotopie

    Re : espaces vectoriel et applications linéaires

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Pour être vraiment parfait, il faut que tu montres que 0 est bien dans Im(f). C'est évident je te l'accorde, mais il faut le dire
    Tout dépend de ce qui a été vu en cours. La condition l.a pour tout l dans K et a dans l'ensemble en question est suffisante pour cela (l=0).

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Gwyddon

    Re : espaces vectoriel et applications linéaires

    Pas faux. En fait ce qui compte c'est de montrer que l'image est non vide, et effectivement il l'avait précisé, donc mea culpa
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  9. Publicité
  10. #7
    tize

    Re : espaces vectoriel et applications linéaires

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Pour être vraiment parfait, il faut que tu montres que 0 est bien dans Im(f). C'est évident je te l'accorde, mais il faut le dire
    Pas nécessairement, si on montre que l'ensemble est non vide (ce que Outag a brièvement dit) alors on a du même coup avec les propriétés 0 dans Im(f)
    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José

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