espaces vectoriel et applications linéaires

[invite7d40f910]

Bonjour, je cherche à démontrer une petite propriété de mon cours de mathématiques : " Si f est une application linéaire de E dans F alors Im(f) est un sous-espace vectoriel de F ".

Voilà comment j'ai procédé :


- Par définition, Im(f) = { f(x) / x appartient à E } donc Im(f) est inclus dans F.

- Il est évident que Im(f) est non vide.

- Soit (a,b) appartenant à (Im(f))², alors il existe c appartenant à E tel que a=f(c) et il existe d appartenant à E tel que b=f(d). On a donc :
a+b=f(c)+f(d)
=f(c+d) car f appartient à L(E,F)
Or c et d appartiennent à E
donc c+d appartient à E
donc f(c+d) appartient à Im(f)
donc a+b appartient à Im(f)
donc on a montré la stabilité pour +.

Soit l appartenant à K,soit a appartenant à Im(f).
Alors il existe b appartenant à E tel que a=f(b).
On a :
l.a=l.f(b)
=f(l.b) car f appartient à L(E,F)
de plus, l.b appartient à E donc f(l.b) appartient à Im(f)
donc l.a appartient à Im(f) donc on a montré la stabilité pour ..

conclusion : Im(f) est un sous-espace vectoriel de F.



Pouvez-vous me dire si cette démonstration est juste. S'il y a des erreurs, dites-les moi.

Merci.
-----

[inviteae1ed006]

Bonjour,
ba à moi, ça me parait correct...

[invite7d40f910]

D'accord, merci.

[invite9c9b9968]

Pour être vraiment parfait, il faut que tu montres que 0 est bien dans Im(f). C'est évident je te l'accorde, mais il faut le dire

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Pour être vraiment parfait, il faut que tu montres que 0 est bien dans Im(f). C'est évident je te l'accorde, mais il faut le dire

Tout dépend de ce qui a été vu en cours. La condition l.a pour tout l dans K et a dans l'ensemble en question est suffisante pour cela (l=0).

[invite9c9b9968]

Pas faux. En fait ce qui compte c'est de montrer que l'image est non vide, et effectivement il l'avait précisé, donc mea culpa

[inviteae1ed006]

Pour être vraiment parfait, il faut que tu montres que 0 est bien dans Im(f). C'est évident je te l'accorde, mais il faut le dire

Pas nécessairement, si on montre que l'ensemble est non vide (ce que Outag a brièvement dit) alors on a du même coup avec les propriétés 0 dans Im(f)