Espaces Vectoriels, Applications lineaires

[invite1cf586f5]

Bonjour,
J'ai un exercice sur les applications lineaires et j'ai besoin d'aide.
Considerons l'application suivante:
L: R[X]_≤2 → R³ : P(X) → L(P(X)) = (P(1), P(a), ½ (-1∫1 P(t)dt))
( a = parametre different de 1; -1∫1 = integrale de -1 a 1)
Je voudrais juste savoir quelle est cette application? que represente l'espace d'arrivee (en quoi transforme t on le polynome? quelle est la dimension de l'espace d'arrivee?la dimension de l'espace de depart?donner une base de l'espace d'arrivee)...
De plus, je n'arrive pas a prouver que L est lineaire...

Merci
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[invite1bd9c194]

en fait ton espace d'arrivée qui est R^3 est justement l'Espace (0,x,y,z) qui est de dimension 3 (les trois directions de l'espace)
Ton application transforme un polynome de degre inferieur ou egal à deux en un point de l'espace de coordonnées x=P(1) ; y=P(a) ; z=½ -1∫1 P(t)dt
La dimension de l'espace de départ est 3 (dimension de l'espace des polynomes de degré inferieur ou egal a 3) de base (1,X,X²)
une base de ton espace d'arrivée est la base canonique {(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)}
tu verifies que c'est generateur et libre (devrait pas y avoir de soucis)

j'espere t'avoir aidé

bye

[invite1cf586f5]

Merci pour cette reponse eclairante...Bonne journée

[invite1cf586f5]

en fait ton espace d'arrivée qui est R^3 est justement l'Espace (0,x,y,z) qui est de dimension 3 (les trois directions de l'espace)
Ton application transforme un polynome de degre inferieur ou egal à deux en un point de l'espace de coordonnées x=P(1) ; y=P(a) ; z=½ -1∫1 P(t)dt
La dimension de l'espace de départ est 3 (dimension de l'espace des polynomes de degré inferieur ou egal a 3) de base (1,X,X²)
une base de ton espace d'arrivée est la base canonique {(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)}
tu verifies que c'est generateur et libre (devrait pas y avoir de soucis)

j'espere t'avoir aidé

bye

Bonjour,
Il y a un autre point qui me pose problème: c'est de déterminer les espaces Im L et Ker L...
Pour trouver le Ker L, je pense qu'il faut faire: P(X) ∈ Ker L equivaut a dire : L(P(X)) = (0,0,0) Donc P(1) = 0, P(a)=0 , 1/2(-1∫1 P(t).dt = 0)... mais ca ma l'air completement faux! et je n'ai pas de pistes concernant l'espace Im L!
Pouvez vous m'aider?

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]