Topologie

[invitec859637e]

Bonsoir à tous !


Bon en fait j'ai deux questions de topo :

Je sêche un peu pour montrer qu'une intersection décroissante de parties compactes et connexes est connexe. Quelqu'un aurait une piste pour me débloquer ?

Mon prof n'a pas démontré la proposition qui dit qu'une fonction continue bijective d'un compact dans un espace séparé est homéomorphe. Une idée de comment ça se fait (ou est-ce trop bourrin ? )


Merci !
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[invite52487760]

Bonsoir :
Pour la première question je pense que c'est facile !
L'intersection decroissante de parties compacts est non vide comme etant l'intersection decroissante de parties fermés non vides dans un compact .. et puisque elles sont tous connexes alors l'intersection est connexe !!

[inviteb429a199]

En ce qui concerne ton homéomorphisme tu as déjà la bijection et la continuité de f. Il reste à montrer que l'image réciproque de f est continue...
Je n'ai pas étudié ce type de problème dans des espaces séparés mais la réponse doit résider dans la compacité de f...

[invite52487760]

Oui, voilà !
Bon, de manière plus explicite :
Soit un fermé de .
Alors : est un fermé de
En effet :

est un fermé d'un compact .
Donc est compact
Donc est un compact de ( séparé )
Donc est fermé. ( et c'est là qu'intervient la séparation , regarde le cours : " compact [TEX]$\ \Longrightarow $[TEX] fermé " ).
Donc, il y'a continuité !!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Bonsoir :
Pour la première question je pense que c'est facile !
L'intersection decroissante de parties compacts est non vide comme etant l'intersection decroissante de parties fermés non vides dans un compact .. et puisque elles sont tous connexes alors l'intersection est connexe !!

Contre-exemple, avec la non compacité, F_n= plan R² auquel on retire les points de coordonnées (0,y) avec y>n. Ils sont tous connexes mais l'intersection des F_n ne l'est pas.

J'essaie de retrouver une démo (je crois que la seule séparation, axiome de Haussdorff, ne suffit pas il faut la normalité, séparation des compacts par des ouverts).
Pour l'homéomorphisme. L'image d'un compact dans un séparé est un compact (K inclus dans une union d'ouverts implique que K est inclus dans l'union des images réciproques de ces ouverts qui sont ouverts donc ouvert, il en suffit donc d'un nombre fini et donc dans l'espace d'arrivée il en suffisiat d'un nombre fini également) (et tout sous-espace d'un séparé est séparé).
Pour l'homéomorphisme il manque que l'application soit ouverte mais l'image d'un ouvert U pour une bijection est f(U)=f(K)\f(K\U)=f(K)\f(fermé d'un compact)=f(K)\f(compact)=f(K)\ compact=f(K)\fermé=ouvert.

EDIT : grillé par Chentouf

[invite52487760]

Contre-exemple, avec la non compacité, F_n= plan R² auquel on retire les points de coordonnées (0,y) avec y>n. Ils sont tous connexes mais l'intersection des F_n ne l'est pas.

J'essaie de retrouver une démo (je crois que la seule séparation, axiome de Haussdorff, ne suffit pas il faut la normalité, séparation des compacts par des ouverts).
Pour l'homéomorphisme. L'image d'un compact dans un séparé est un compact (K inclus dans une union d'ouverts implique que K est inclus dans l'union des images réciproques de ces ouverts qui sont ouverts donc ouvert, il en suffit donc d'un nombre fini et donc dans l'espace d'arrivée il en suffisiat d'un nombre fini également) (et tout sous-espace d'un séparé est séparé).
Pour l'homéomorphisme il manque que l'application soit ouverte mais l'image d'un ouvert U pour une bijection est f(U)=f(K)\f(K\U)=f(K)\f(fermé d'un compact)=f(K)\f(compact)=f(K)\ compact=f(K)\fermé=ouvert.

EDIT : grillé par Chentouf

Ah oui ! j'ai confondu avec la reunion de connexes !! ici c'est l'intersection et pas la reunion !! désolé !!

[invite35452583]

Oui, je pense que sans séparation des compacts le résultat est faux (trouver un contre-exemple voilà un défi). Avec cette séparation (c'est le cas pour les métriques) on le montre par l'absurde :
supposons que l'intersection=FUF' avec F et F' deux fermés disjoints.
F et F' sont compacts donc il existe U et U' disjoints contenant respectivement F et F'. Le complémentaire C de l'union de U et U' est fermé.
Maintenant, l'intersection des compacts initiaux et de C sont des compacts (car chacun est intersection d'un compact et d'un fermé) décroissants dont l'intersection est...
Il ne reste plus qu'à continuer pour aboutir finalement à une contradiction (considérer les intersections des compacts initiaux avec U, d'une part, et avec U' d'autre part).

[invitec859637e]

Merci pour vos réponses !

En effet pour ma deuxième question c'était pas bien dur (j'avoue ne pas avoir bien cherché ).
Pour la connexité, ça m'étonne un peu qu'on ai besoin de la normalité, enfin je veux dire que c'est pas le genre du prof d'oublier ce genre de détail
Je vais continuer à chercher (un peu^^)

[invite35452583]

je crois que la seule séparation, axiome de Haussdorff, ne suffit pas il faut la normalité, séparation des compacts par des ouverts

La séparation des points (Haussdorff) suffit pour la séparation des compacts.
Pour rappel ou info :
K et C deux compacts dijoints. On considère pour x dans C et y dans K, les ouverts U_x,y et V_x,y disjoints le premier contenant x le second y.
Pour y fixé la famille (U_x,y)_x est un recouvrement ouvert de C, on peut en extraire un recouvrement fini : (U_xi,y)_i=1...n l'ouvert U_y=union des U_xi,y contient C en entier et est disjoint de l'ouvert V_y=intersection des V_xi,y.
La famille (V_y)_y est un recouvrment de K, on peut en extraire un recouvrement fini (V_yi)_i. On pose V=union de ceux-ci, U=intersection des U_yi. U et V sont les ouverts recherchés.

Le résultat sur la connexité peut donc se montrer dans le cas général par la voie que j'ai indiquée.

[invitec859637e]

En effet, j'avais oublié que tout compact est normal

Merci !

[invite52487760]

Bonsoir à tous !


Je sêche un peu pour montrer qu'une intersection décroissante de parties compactes et connexes est connexe. Quelqu'un aurait une piste pour me débloquer ?


Merci !

Bonjour :
Posons avec une suite décroissante de compacts , connexes.
Supposons que n'est pas connexe.
Alors : avec et deux fermés disjoints non vide.

et sont compacts.
Alors on peut les separer par deux ouverts disjoints non vides et !
Donc : avec est ouvert.
Donc :
C'est à dire :
c'est à dire :
Puisque est compact alors :
c'est à dire :
c'est à dire :

c'est à dire :
c'est à dire :

Donc s'écrit comme reunion disjoints de deux ouverts de non vides !!
Donc n'est pas connexe ( contradiction ).
D'où le resultat !!